Линейные уравнения.

Все темы данного раздела:

Системы линейных уравнений.
Конечную совокупность линейных уравнений относительно неизвестных х1, х2, …, хn называют системой линейных уравнений. Если перенумеровать уравнения системы, то система л

Матрицы.
Прямоугольная таблица чисел ,

Умножение матрицы на число и сложение матриц.
По определению, чтобы умножить матрицу А на число k, нужно каждый элемент матрицы А умножить на число k. Например,

Умножение матриц.
Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица АВ, у которой столько же стр

Определители квадратных матриц.
Определители второго порядка. Правило Крамера. Пусть дана квадратная таблица, состоящая из четырёх чисел:

Правило Крамера для решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.
Пусть дана система уравнений а11х1 + а12х2

Определители третьего порядка.
Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка, т.е. таблицу чисел

Определители n-ного порядка.
Рассмотрим квадратную таблицу, составленную из чисел. Такую таблицу называют квадратной матрицей порядка n.Число, стоящее

Разложение определителя по строке или столбцу.
Предыдущая формула мало пригодна для вычисления определителей n-ого порядка: число членов равно n! И с ростом n это число быстро возрастает. Практическое вычисление определителей основано

Свойства определителей n-ого порядка.
Определитель не изменится, если поменять местами строки и столбцы. Поэтому приводимые ниже свойства определителей формулируются для строк, для столбцов свойства аналогичны. 1.Если

Понятие минора. Вычисление определителей n-ого порядка.
Рассмотрим определитель n-ого порядка =

Связь между минорами и алгебраическими дополнениями.
Теорема. Алгебраическое дополнение любого элемента aij определителя равно минору этого элемента.

Правило Крамера для системы nn.
Теорема. Если определитель системы nn

Обратная матрица.
Квадратная матрица называется единичной и обозначается через Е. Легко проверить, что к

Транспонирование матрицы.
Наряду с матрицей А часто приходится рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы А. Эту матрицу называют транспонированной к А и обозначают через А´ или Ат.

Нахождение обратной матрицы А-1 в случае невырожденной матрицы А.
  Пусть А = - невырожденная матрица, т.е.

Умножение матрицы на вектор.
Одностолбцовую матрицу будем называть вектор-столбцом, а однострочную матрицу – вектор-строкой. Если А – матрица размера m × n, вектор-столбец х имеет размерност

Матрично-векторная форма записи системы линейных уравнений.
Рассмотрим систему линейных уравнений   а11 х1 + а12 х2 +…+ а1n

Запись решения с помощью обратной матрицы.
Особое значение имеют системы с одинаковым числом уравнений и неизвестных – системы nn. В этом случае матрица А является