Нахождение обратной матрицы А-1 в случае невырожденной матрицы А.
Нахождение обратной матрицы А-1 в случае невырожденной матрицы А. - раздел Математика, Линейные уравнения
Пусть А = ...
Пусть А = - невырожденная матрица, т.е.
Теорема. Если А – невырожденная матрица, то
А-1 =
Здесь Аij – алгебраическое дополнение для элемента аij .
Обратим внимание на своеобразное расположение чисел Аij в матрице А-1, а именно: число Аij расположено не в i – той строке и j – том столбце, а, наоборот, в j – той строке и i– том столбце.
Доказательство.
Следует проверить справедливость равенств АА-1 = Е и А-1а = Е. Сделаем это для произведения АА-1. Полагая АА-1 = С, запишем
С = АА-1 = · .
Согласно правилу умножения матриц, элемент матрицы С, расположенный в i – той строке и j – том столбце, равен
При i = j это выражение равно 1, т.к. тогда в скобках стоит разложение определителя по i – той строке; если же , то написанное выражение равно 0, поскольку в этом случае в скобках стоит сумма произведений элементов i – той строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам j – той строки . Т.о., сij равно 1, если i = j , и равно 0, если . Это означает, что С = Е.
Пример 1.Найти обратную матрицу для матрицы
А = .
; следовательно, матрица А-1 существует. Чтобы записать её, находим числа А11 = -1, А12 = -4,А21 = -2, А22 = -7.
Линейные уравнения.
Линейным уравнением относительно неизвестных х1, х2, …, хn называют выражение вида
а1 х1 + а2 х2 +…+ а n
Системы линейных уравнений.
Конечную совокупность линейных уравнений относительно неизвестных х1, х2, …, хn называют системой линейных уравнений. Если перенумеровать уравнения системы, то система л
Умножение матриц.
Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица АВ, у которой столько же стр
Определители квадратных матриц.
Определители второго порядка. Правило Крамера.
Пусть дана квадратная таблица, состоящая из четырёх чисел:
Определители n-ного порядка.
Рассмотрим квадратную таблицу, составленную из чисел. Такую таблицу называют квадратной матрицей порядка n.Число, стоящее
Разложение определителя по строке или столбцу.
Предыдущая формула мало пригодна для вычисления определителей n-ого порядка: число членов равно n! И с ростом n это число быстро возрастает.
Практическое вычисление определителей основано
Свойства определителей n-ого порядка.
Определитель не изменится, если поменять местами строки и столбцы.
Поэтому приводимые ниже свойства определителей формулируются для строк, для столбцов свойства аналогичны.
1.Если
Обратная матрица.
Квадратная матрица
называется единичной и обозначается через Е.
Легко проверить, что к
Транспонирование матрицы.
Наряду с матрицей А часто приходится рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы А. Эту матрицу называют транспонированной к А и обозначают через А´ или Ат.
Умножение матрицы на вектор.
Одностолбцовую матрицу будем называть вектор-столбцом, а однострочную матрицу – вектор-строкой.
Если А – матрица размера m × n, вектор-столбец х имеет размерност
Новости и инфо для студентов