рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Запись решения с помощью обратной матрицы.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Запись решения с помощью обратной матрицы.

Запись решения с помощью обратной матрицы. - раздел Математика, Линейные уравнения Особое Значение Имеют Системы С Одинаковым Числом Уравнений И Неизвестных – С...

Особое значение имеют системы с одинаковым числом уравнений и неизвестных – системы nn. В этом случае матрица А является квадратной матрицей размера nn. Допустим, что эта матрица невырожденная, т.е. что её определитель не равен 0. Тогда для неё существует обратная матрица А^-1.

Используя эту матрицу, можно решить уравнение (2): умножая обе части уравнения (2) слева на матрицу А^-1, получаем

А^-1(Ах) = А^-1В

или, согласно сочетательному закону умножения матриц,

(А^-1А)х = А^-1В.

Но А^-1А = Е, а Ех = х. Уравнение принимает вид

х = А^-1В.

Эта формула даёт матричную запись решения.

Замечание. Не следует думать, что эта формула сильно упрощает задачу решения системы размера nn с невырожденной матрицей А. Ведь для того чтобы использовать эту формулу. Нужно сначала найти матрицу А^-1, а это само по себе есть достаточно трудная задача. Поэтому формула имеет скорее теоретическое значение. Наиболее удобным способом остаётся метод Гаусса.

Пример. Решить систему уравнений

х₁ + 3х₃ = 1

5х₁ + 3х₂ + 7х₃ = 1

3х₁ + 2х₂ + 5х₃ = 1.

А =

Вычислим матрицу А^-1:

А^-1 =

Теперь находим столбец х:

Итак, решение системы:х₁ = -

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Линейные уравнения

На сайте allrefs.net читайте: Линейные уравнения.

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Запись решения с помощью обратной матрицы.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейные уравнения.
Линейным уравнением относительно неизвестных х1, х2, …, хn называют выражение вида а1 х1 + а2 х2 +…+ а n

Системы линейных уравнений.
Конечную совокупность линейных уравнений относительно неизвестных х1, х2, …, хn называют системой линейных уравнений. Если перенумеровать уравнения системы, то система л

Матрицы.
Прямоугольная таблица чисел ,

Умножение матрицы на число и сложение матриц.
По определению, чтобы умножить матрицу А на число k, нужно каждый элемент матрицы А умножить на число k. Например,

Умножение матриц.
Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица АВ, у которой столько же стр

Определители квадратных матриц.
Определители второго порядка. Правило Крамера. Пусть дана квадратная таблица, состоящая из четырёх чисел:

Правило Крамера для решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.
Пусть дана система уравнений а11х1 + а12х2

Определители третьего порядка.
Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка, т.е. таблицу чисел

Определители n-ного порядка.
Рассмотрим квадратную таблицу, составленную из чисел. Такую таблицу называют квадратной матрицей порядка n.Число, стоящее

Разложение определителя по строке или столбцу.
Предыдущая формула мало пригодна для вычисления определителей n-ого порядка: число членов равно n! И с ростом n это число быстро возрастает. Практическое вычисление определителей основано

Свойства определителей n-ого порядка.
Определитель не изменится, если поменять местами строки и столбцы. Поэтому приводимые ниже свойства определителей формулируются для строк, для столбцов свойства аналогичны. 1.Если

Понятие минора. Вычисление определителей n-ого порядка.
Рассмотрим определитель n-ого порядка =

Связь между минорами и алгебраическими дополнениями.
Теорема. Алгебраическое дополнение любого элемента aij определителя равно минору этого элемента.

Правило Крамера для системы nn.
Теорема. Если определитель системы nn

Обратная матрица.
Квадратная матрица называется единичной и обозначается через Е. Легко проверить, что к

Транспонирование матрицы.
Наряду с матрицей А часто приходится рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы А. Эту матрицу называют транспонированной к А и обозначают через А´ или Ат.

Нахождение обратной матрицы А-1 в случае невырожденной матрицы А.
Пусть А = - невырожденная матрица, т.е.

Умножение матрицы на вектор.
Одностолбцовую матрицу будем называть вектор-столбцом, а однострочную матрицу – вектор-строкой. Если А – матрица размера m × n, вектор-столбец х имеет размерност

Матрично-векторная форма записи системы линейных уравнений.
Рассмотрим систему линейных уравнений а11 х1 + а12 х2 +…+ а1n