рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ТЕМА 7. КОЛЬЦА И ПОЛЯ

ТЕМА 7. КОЛЬЦА И ПОЛЯ - Методические Указания, раздел Математика, АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   Определение 5. Непустое Множество К С Двумя ...

 

Определение 5. Непустое множество К с двумя б.а.о. + (сложение) и (умножение) называется кольцом, если

1) К является абелевой группой относительно операции +;

2) умножение ассоциативно;

3) выполняются свойства дистрибутивности:

для всех а,b,cÎK: (a+b)c=ac+bc; c(a+b)=ca+cb.

Если для операции умножения существует единичный элемент, то К – кольцо с единицей, если операция умножения коммутативна, то К – коммутативное кольцо. Приведем четыре основных примера колец:

I. Z – кольцо целых чисел.

II. - кольцо вычетов по modm.

III. R[x] – кольцо многочленов от х с коэффициентами – вещественными числами.

IV. Mat(n;R) – см. пример 3.

Кольца в I-III являются коммутативными с единицей, кольцо в IV – некоммутативное с единицей.

Определение 6. Коммутативное кольцо с единицей, все ненулевые элементы которого обратимы относительно операции умножения, называются полем.

Простейшими примерами полей являются Q, R, C, Zp.

Рассмотрим подробнее кольцо многочленов от х с коэффициентами в поле . Если

f(x)Î

то n=degf(x) – степень многочлена f(x), an – старший коэффициент.

Пусть f(x), g(x)Î , 1£ deg g(x)£deg f(x). Тогда с помощью, например, процедуры «деления столбиком», можно получить представление вида

f(x)=A(x)g(x)+r(x), (13)

где А(х), r(x)Î , deg r(x)<deg g(x).

Если в формуле (13) остаток r(x)=0, то говорят, что f(x) делится на g(x).

Определение 7.Многочлен f(x)Î называется проводимым в кольце , если существуют многочлены f1(x), f2(x)Î такие, что f(x)= f1(x) f2(x), deg f1(x)³1,deg f2(x)³1. В противном случае многочлен f(x)называется неприводимым в .

Определение 8.Пусть f(x), g(x)Î , deg g(x)³1, deg f(x)³1, f(x)= А(х) r(x), g(x)=B(x)g(x), A(x), B(x), g(x)Î . Тогда g(x) – общий делитель многочленов f(x) и g(x). Если deg g(x) – максимально возможная, старший коэффициент многочлена g(x) равен 1, то g(x) называется наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x): g(x)=НОД(f(x),g(x)). В случае g(x)=1 многочлены f(x) и g(x) называются взаимно простыми.

Алгоритм деления с остатком позволяет найти НОД(f(x),g(x)). Эта идея принадлежит Евклиду, который применил ее для нахождения НОД натуральных чисел.

Пример 13. Найти НОД (119,187) с помощью алгоритма Евклида.

Решение. Будем последовательно делить с остатком 187 на 119, затем 119 на остаток и т.д. вплоть до получения нулевого остатка:

187=1×119+68: 119=1×68+51; 68=1×51+17; 51=3×17+0.

Последний ненулевой остаток равен искомому НОД, т.е. НОД(119,187)=17.

Другой вариант нахождения НОД связан с разложением чисел в произведение простых чисел. В нашем случае 119=7×17; 187=11×17; НОД(119,187)=17.

Пример 14. Найти НОД(х3+х2-2, х4+2х3+3х2+2х+2) с помощью алгоритма Евклида.

Решение. Для многочленов действуем как в примере 13 с использованием последовательного деления с остатком в форме (13). В рассматриваемом случае

х4+2х3+3х2+2х+2=(х+1)(х3+х2-2)+2х2+4х+4;

х3+х2-2= (2х2+4х+4)+0,

т.е. искомый НОД= (2х2+4х+4)=х2+2х+2, где мы учли требование к НОД в определении 8: старший коэффициент НОД должен быть равен 1.

Пусть g(x)Î , deg g(x)³1, g(x) – неприводим.

Для любого f(x)Î получим представление(13). Обозначим - вычет многочлена f(x) по модулю g(x). Операции на множестве вычетов вводятся стандартно:

 

Неприводимость многочлена g(x) обеспечивает справедливость важного факта: множество всех вычетов образует поле. Например, в случае g(x)=х2+1 получаем поле, изоморфное полю комплексных чисел С. Действительно, ; все операции с остатками r(x)=a+bx, a,bÎR, идентичны введенным в теме 1 операциям с комплексными числами a+bi.

Пример 15. Рассмотрим поле вычетов в кольце , где (см. тему 4) по модулю неприводимого в многочлена g(x)=x3+x2+ . Найти в этом поле вычетов .

Решение. Применим сначала алгоритм Евклида аналогично примеру 14:

x3+x2+ =х ; (14)

. (15)

Выразим из (14) через g(x) и и подставим в (15): = x3+x2+ ,

= (x3+x2+

 

Поэтому

Далее мы приведем тематику и примерный вариант контрольной работы и 25 вариантов расчетно-графической работы с небольшими пояснениями.

Вариант контрольной работы состоит из 5 задач:

1. Вычисления с комплексными числами.

Найти и все значения .

2. На данном множестве Х задана операция. Проверить, что задана б.а.о. Обладает ли эта операция свойствами ассоциативности (а), коммутативности (к), наличием единичного элемента (е). Составить еще одну б.а.о., обладающую данным набором свойств.

Пример. Х=N, ab=ab+a-b. Составить на N б.а.о., обладающую набором свойств ( ).

3. Найти все перестановки хÎS5, удовлетворяющие уравнению fx2=h для заданных fhÎS5.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ... Методические указания к самостоятельной...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ТЕМА 7. КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ТЕМА I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Определение 1.Комплексным числом называется выражение вида z=x+yi, где x,yÎR, i – мнимая единица, i2= -1.  

ТЕМА 3. ГРУППЫ
  Определение 2. Группой называется множество G, на котором задана б.а.о. t такая, что выполнены следующие свойства, называемые аксиома

ТЕМА 4. ТЕОРИЯ СРАВНЕНИЙ
Везде далее в этой и следующей теме 5 все a,b,c,… - целые числа; m – натуральное число, m³2; р,р1,р2,… - простые числа; (а,b) об

ТЕМА 5. РЕШЕНИЕ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ
  Мы рассмотрим несколько примеров нахождения целочисленных решений алгебраических уравнений с несколькими переменными (диофантовых уравнений). Пример 9. Най

ТЕМА 6. ПРИБЛИЖЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ РАЦИОНАЛЬНЫМИ
  В этой большой классической теме мы ограничимся только одной задачей: приближением с помощью последовательностей Фарея. Определение 4. Последовательностью

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги