Краткий конспект лекций Матрицы и операции над ними

Краткийконспект лекций

Матрицы и операции над ними.

Определение. Матрицей называется множество чисел, которое составляет прямоугольную таблицу, состоящее из m строк и n столбцов

 

коротко матрицу обозначают так:

 

где элементы данной матрицы, i – номер строки, j – номер столбца.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной n-го порядка, а в противном случае – прямоугольной.

Если m=1 и n >1, то получаем однострочную матрицу

 

которая называется вектор-строкой, если, же m>1 и n=1, то получаем одностолбцовую матрицу

,

которая называется вектор-столбцом.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называется единично, обозначается E.

Матрица, полученная из данной заменой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной. Обозначается .

Две матрицы и равны, если равны между собой элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть если

 

при всех i и j (при этом число строк (столбцов) матриц A и B должно быть одинаковым).

1°. Суммой двух матриц A=(a_ij) и B=(b_ij) с одинаковым количеством m строк и n столбцов называется матрица C=(c_ij), элементы которой определяются равенством

 

Сумму матриц обозначают C=A+B.

Пример.

.

2⁰. Произведением матрицы A=(a_ij) на число λ называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число λ:

λA=λ(a_ij)=(λa_ij), (i =1,2…,m ; j=1,2…,n ).

Пример.

 

3⁰. Произведением матрицы A=(a_ij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу B=(b_ij), имеющей k строк и n столбцов, называется матрица C=(c_ij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B, то есть

 

При этом число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B. В противном случае произведение не определено. Произведение матриц обозначается A*B=C.

Пример.

 

 

 

Для произведения матриц не выполняется равенство между матрицами A*B и B* A, в общем случае одна из них может быть не определена.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Пример. Пусть , , тогда согласно правилу умножения матриц имеем

=

и

,

откуда заключаем, что

и

Определители и их свойства.

(1) Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (1),…  

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу Аразмерности . Выделим в ней произвольно k строк и k столбцов. Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов,…

Системы линейных алгебраических уравнений.

  Коэффициенты и свободные члены считаются заданными. В матричной форме… .

Теорема Кронекера-Капелли

1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матриц равен рангу основной матрицы.

2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственной решение.

3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

4. Если ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы, то система имеет решений.

Формулы Крамера

(1) Основную роль играют следующие четыре определителя: , , , .

Системы линейных однородных уравнений

  .  

Координаты точки на прямой и плоскости. Деление отрезка в данном отношении.

Аналитическая геометрия изучает геометрические образы алгебраическими методами. Аппаратом аналитической геометрии является метод координат,… Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую… В прямоугольной системе координат Оху точку М, имеющую координаты х и у, обозначают М(х; у), где х – абсцисса точки, а…

Векторы, операции над ними.

Вектором называется направленный отрезок. Вектор характеризуется двумя величинами: длиной и направлением. Также вектор можно задать указав его начало и конец. Векторы обозначают следующим образом: AB,`a .

Вектор начало и конец, которого совпадают, называется нулевым. Векторы `а и `в называются коллинеарным, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы `а и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

Если вектор задан началом А(х₁,у₁) и концом В(х₂;у₂), то координаты вектора АВ можно определить так АВ

Длина вектора АВ определяется как расстояние между двумя точками:

(1)

Пусть задана ось l и некоторый вектор АВ. Проекцией вектора АВ на ось l называется величина А¢В¢на оси l. Проекция вектора АВ на ось l равна длине вектора АВ, умноженной на косинус угла между вектором АВ и осью l, т.е.

Пр_и (2)

Направляющими косинусами вектора `а называются косинусы углов между вектором `а и осями координат. Направляющие косинусы вектора `а можно определить по формулам

 

Векторы можно складывать, вычитать и умножать на число.

Определение 1. Суммой называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условий, что вектор приложен к концу вектора .

Определение 2. Разностью векторов и называется вектор, который в сумме с вектором дает вектор .

Определение 3. Произведением называется вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную и направление такое же, как и вектор , если >0 и противоположное, если <0.

Пусть даны векторы и . Тогда сумма векторов в координатной форме записывается

,

разность векторов

,

умножение вектора на число l

.

Определение 4. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

(4)

Если векторы и заданы координатами, то скалярное произведение можно вычислить по формуле

(5)

Свойства скалярного произведения векторов:

. (переместительное свойство)

.

.

.

. , если

Следствие. Угол между векторами и определяется по формуле

(6)

или

(7)

Сформируем условия параллельности и перпендикулярности двух векторов и

1. Векторы и перпендикулярны, если их скалярное произведение равно , то есть

(8)

или

(9)

2. Векторы и параллельны, если их соответствующие координаты пропорциональны

(10)

 

Определение 5. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор c, который:

1. перпендикулярен векторам и ;
2. имеет длину , - угол между векторами и ;
3. с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки.

Обозначается

 

Геометрический смысл векторного произведения: в результате векторного произведения получается вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

 

Свойства векторного произведения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

 

Если , тогда .

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов и называется произведение, составленное следующим образом: и обозначается .   Геометрический смысл смешанного произведения: в результате смешанного произведения получается число, равное объему…

Прямая на плоскости

Определение. Уравнение F(x, y)=0 называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у… Любая прямая на плоскости задается уравнением первой степени относительно… Прямую можно задать одним из следующих уравнений:

Кривые 2-го порядка.

Определение 1. Окружность – это геометрическое место точек плоскости равноудаленных от данной точки (центра), Расстояние, на которое удалены точки… Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке O (a; b) имеет…  

Уравнение плоскости

Уравнение (1) определяет плоскость, проходящую через точку перпендикулярно вектору

Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана системой уравнений двух плоскостей , (1) пересекающихся по этой прямой.

Список основной и дополнительной литературы

Основная литература

1. Я.С. Бугров, С.М.Никольский. Элементы лин. алгебры и ан. геометрии, М.: Наука, 1980.

2. Я.С. Бугров, С.М.Никольский. Дифф. и интегральное исчисление, М.: Наука, 1980.

3. Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление, т.1, т.2, М.:Наука,1976.

4. Г. Н. Берман Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.– 1985.

 

6.2. Дополнительная литература

1. С.М.Никольский. Курс математического анализа. т. 1,2. - М.: Наука, 1983.

2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике ч.1-2. Под редакцией Рябушко А.П. Минск.: Вышейшая школа, 2001г.

3. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для вузов. М.– Высшая школа.–1986.

4. Б.У.Аубакир Методические разработки темы: «Неопределенный интеграл» для практических занятий. Методическое пособие. Целиноград, 1991.

5. Б.У.Аубакир, Т.Д.Туканаев, Ж.Уатай Геометрические и механические приложения определенного интеграла. Учебно-методическое пособие. Астана, 2005.

 

ИДЗстр. 32 ИДЗ 1.1 (1; 2)

ИДЗ 1.2 (1; 2; 3; 4)

стр. 75 ИДЗ 2.2 (1)

стр. 97 ИДЗ 3.1 (1; 2)

стр. 106 ИДЗ 3.2

стр. 131 ИДЗ 4.1