рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Определители и их свойства.

Определители и их свойства. - раздел Математика, Краткий конспект лекций Матрицы и операции над ними Пусть Дана Квадратная Матрица Третьего Порядка: (1) ...

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

(1)

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (1), называется число, обозначаемое символом

 

и определяемое равенством

.(2)

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (2) берутся со знаком "+", а какие со знаком "-", полезно использовать следующее правило треугольников.

 

 

+ -

 

Пример.

 

Сформулируем основные свойства для определителей третьего порядка, хотя они присущи определителям любого порядка.

1°. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, т. е.

=

2°. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

=-

3°. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4°. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число λ равносильно умножению определителя на это число λ.

= λ

5°. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6°. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7°. Если каждый элемент n-го столбца (n-ой строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-ом столбце (n-ой строке) содержит первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

Например,

= +

80. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель l, то величина определителя не изменится.

Например,

 

 

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Например, минором элемента а1 определителя Δ является определитель 2-го порядка

.

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1)p, где р- сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Если, например, элемент а2 находятся на пересечении 1-го столбца и 2-ой строки, то для него р=1+2=3 и алгебраическим дополнением является

 

90. Определитель равен сумме произведений элементов какого–либо столбца или строки на их алгебраические дополнения.

100. Сумма произведений элементов какого–либо столбца или какой–либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или другой строки равны нулю.

Возникает вопрос, можно ли для квадратной матрицы А подобрать некоторую матрицу, такую что умножив на нее матрицу А в результате получить единичную матрицу Е, такую матрицу называют обратной к матрице А.

Определение. Матрица называется обратной квадратной матрице A, если .

Определение.Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае квадратная матрица называется вырожденной.

Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Элементарными преобразованиями матриц являются:

  1. перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
  2. умножение всех элементов матрицы на число, отличное от нуля;
  3. прибавление ко всем элементами ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной матрицей.

Для невырожденной квадратной матрицы

 

третьего порядка обратная матрица А-1 может быть вычислена по следующей формуле

 

здесь Δ - определитель матрицы А, Aij – алгебраические дополнения элементов aij матрицы А.

Элемент строки матрицы называется крайним, если он отличен от нуля, а все элементы строки, находящиеся левее него, равны нулю. Матрица называется ступенчатой, если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки. Например:

- не ступенчатая; - ступенчатая.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Краткий конспект лекций Матрицы и операции над ними

Матрицы и операции над ними... Определение Матрицей называется множество чисел которое составляет...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определители и их свойства.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Ранг матрицы
  Рассмотрим матрицу Аразмерности . Выделим в ней произвольно k строк и k столбцов. Из элементов, стоящих на пересечении выделе

Системы линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим применение матриц и определителей для исследования и решения системы m линейных уравнений с n неизвестными   Коэффициенты и свободные члены считаются

Формулы Крамера
Дана система трех уравнений с тремя неизвестными (1) Основную роль играют следующие четыре определителя: , , , . Определитель D называется определителем системы

Системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система линейных однородных уравнений   .   Однородная система всегда совместна ( ), она имеет нулевое (тривиальное)

Координаты точки на прямой и плоскости. Деление отрезка в данном отношении.
  Аналитическая геометрия изучает геометрические образы алгебраическими методами. Аппаратом аналитической геометрии является метод координат, разработанный Декартом в XVII веке. В осн

Смешанное произведение векторов
  Смешанным произведением векторов и называется произведение, составленное следующим образом: и обозначается .   Геометрический смысл см

Прямая на плоскости
Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии. Определение. Уравнение F(x, y)=0 называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если эт

Кривые 2-го порядка.
К кривым 2-го порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола. Определение 1. Окружность – это геометрическое место точек плоскости равноудаленных от данной точ

Уравнение плоскости
Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz, произвольная точка и вектор Уравнение (1) определяет плоскость, проходящую через точку перпендикулярно вектору

Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
  Прямая в пространстве может быть задана системой уравнений двух плоскостей , (1) пересекающихся по этой прямой. Уравнения (1) называются общими уравнениям

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги