МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Предмет и задачи математической статистики

1. Разработка методов сбора информации, способы группировки статистических сведений полученных в результате наблюдений или специально поставленных… 2. Разработка методов анализа полной информации в зависимости от целей… а) оценка неизвестной вероятности события, оценка неизвестной функции распределения, оценка параметров распределения,…

Генеральная и выборочная совокупности

Например: Для партии деталей качественный признак – их стандартность, а количественный –… Если совокупность содержит большое число объектов, то провести сплошное обследование невозможно. В таких случаях…

Повторная и бесповторная выборка. Репрезентативная выборка

Опр: Повторнойназывают выборку при которой выбранный объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность, а бесповторнойназывают… На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором. Для того, чтобы… В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайным…

Статистическое распределение выборки

Опр: Наблюдаемые значения называются вариантами. - частоты = - относительные частоты Опр: Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот.

Эмпирическая функция распределения. Размах выборки.

R=0,096-0,03=0,093 Опр: Эмпирической функцией распределения называют функцию (x) =

Полигон и гистограмма

Полигоном частотназывается ломаная, звенья которой соединяют точки с координатами ( ; ). На оси абсцисс откладывают варианты , на оси… Построить полигон частот по распределению ( таблица (**)).  

Статистические оценки параметров распределения

Пусть по результатам выборки объема n каким–либо образом найдена оценка параметра генеральной совокупности. Оценки бывают: 1. Несмещенные, если ее математическое ожидание совпадает с оцениваемым параметром при любом объеме выборки;

Интервальные оценки

Опр: Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью покрывает оцениваемый параметр. Надежность оценки - это вероятность попадания в доверительный интервал. Рассмотрим 3 интервальные оценки параметров нормально распределенного признака генеральной совокупности.

Пример.

По данным выборки объёма n=16 найдено исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение S=1 нормально распределённого признака в генеральной совокупности. Найти с надёжностью =0,95 длительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения. По таблице q=(n;)=q(16; 0,95)=0,44<1

1(1-0,44) <σ <1(1+0,44)

0,56 <σ <1,44.

Статистическая проверка статистических гипотез.

Статистическая гипотеза (нулевая и конкурирующая, простая и сложная).

Иногда бывает, что закон распределения известен, но не известны его некоторые параметры. Если есть основания предполагать, что определенный параметр… Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух совокупностей, о…  

Определение.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения и о параметрах известного распределения.

 

«Гипотеза – “есть ли жизнь на Марсе?”, статистической не является».

 

 

Определение.

  Если нулевая гипотеза отвергается, то ее место занимают конкурирующая… Например:

Определение.

Простая H0: а=10 (σ-известно и равно 1) Сложная H0: а=10 (σ-неизвестно)  

Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия.

Для проверки статистической гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное значение которой известно. Обычно такие величины обозначают U, T, X²… В общем случае будем ее обозначать K.

 

Определение.

Статистическим критерием называют случайную величину K, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Для проверки гипотезы по данным выборки вычисляют частные значения, входящие в критерий величин и получают наблюдаемое значение критерия.

 

Определение.

Наблюдаемым значением критерия K_набл называют значение, полученное по выборке.

 

Критическая область. Область принятия гипотезы. Уровень значимости. Мощность критерия.

После выбора критерия множество всех его значений разбивают на 2 подмножества: область, где нулевую гипотезу принимают и область, где нулевую гипотезу отвергают.

Определение.

Критической областью называют совокупные значения критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, а областью принятия гипотезы – там, где нулевую гипотезу принимают.

 

Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу нужно отвергнуть.

Определение.

  Различают правосторонние, левосторонние и двусторонние критические области. … Правосторонняя

Определение.

Мощностью критерияназывается вероятность попадания его в критическую область при условии, что конкурирующая гипотеза справедлива.

Важно чтобы мощность критерия была максимальной.

 

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона.

По критерию согласия Пирсона проверяется гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности. Для этого сравниваются эмпирические… Критерий Пирсона построен так, что: если эмпирические и теоретические частоты… Критерий согласия Пирсона не устанавливает, является ли генеральная совокупность нормальной, а при данном уровне…

Замечание.

По критерию согласия Пирсона объем выборки должен быть велик (n≥50).

 

Пример.

По данным выборки получены эмпирические и теоретические частоты. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона при заданном уровне значимости.

Эмпирические и теоретические частоты заданы таблицей.

Эмпирические частоты ni
Теоретические частоты ni’

Уровень значимости α=0,05

Вычислим наблюдаемое значение критерия

Составим расчетную таблицу.

 

i	ni	ni’	ni- ni’	(ni- ni’)2		ni2
			-1		0,07		12,07
			-4		0,38		34,38
			-8		0,78		66,78
					0,49		113,49
					1,07		95,07
			-7		1,38		24,32
					0,08		15,08
∑					χ2набл=7,19		373,19

Контроль

 

Найдем число степеней свободы , где S-число различных вариант.

K=8-3=5

По уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы K=5 по таблице критических точек χ²_кр(α;κ) находим критическую точку правосторонней критической области χ²_кр(0,05;5)=11,1.

 

Т.к. χ²_набл< χ²_кр, то нет основания отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, т.е. эмпирические и теоретические частоты различаются не значимо (их различие носит случайный характер).

 

 

Элементы теории корреляции

Функциональная, статистическая зависимости системы случайных величин. Условная средняя

Две случайные величины X и Y могут быть связаны между собой функциональной, статистической зависимостью или быть независимыми. Функциональная зависимость (строгая, жесткая) встречается крайне редко, т.к.…  

Пример.

СВ X зависит от случайных факторов Z₁; Z₂; Z₃

СВ Y зависит от случайных факторов Z₂; Z₃; Z₄; Z₅

Т.к. среди этих факторов есть общие, то между случайными величинами X и Y есть статистическая зависимость.

 

Определение.

  Если статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной…  

Определение.

Условным средним называется среднее арифметическое значение наблюдавшихся значений Y, соответствующих значению X=x.

 

Например, при значении x=2 наблюдавшиеся значения Y: y₁=3, y₂=7, y₃=4.

Условное среднее

Аналогично условным средним называется среднее арифметическое наблюдавшихся значений , соответствующих значению Y=y.

 

 

Линейная корреляционная зависимость. Выборочные уравнения прямой регрессии Y на X. Коэффициент корреляции

    Xi   X1   X2   …   Xn   Yi   …   Ограничимся приближенным представлением (а точное представление здесь не возможно), что между Х и Y существует…

Определение.

- выборочное уравнение прямой регрессии Y на X; - среднее арифметическое значение X; -среднее арифметическое значение Y;

Пример

Проведены 20 независимых опытов по изучению зависимости случайных величин X и Y

а) построить график зависимости (поле корреляции) между переменными X и Y, по которому найти модель уравнения регрессии;

б) рассчитать параметры уравнения регрессии методом наименьших квадратов (МНК);

в) оценить тесноту связи между переменными с помощью показателей корреляции и детерминации:

г) оценить значимость коэффициентов корреляции и регрессии по критерию Стьюдента при уровне значимости

X	-10	-8	-6	-4	-2
Y	-2,6	-3,2	-2,3	-2,0	2,3	-0,5	4,0	5,9	5,3	6,7
X
Y	5,4	9,6	10,3	11,7	12,2	13,4	10,5	11,4	14,5	17,8

 

Решение.

На график наносим точки координаты которых соответствуют значениям переменных X и Y.   Визуально анализируя характер расположения точек на графике, приходим к выводу, что связь между переменными X и Y…