рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Множества и операции над ними

Множества и операции над ними - раздел Математика, Содержание   Ведение. 3 1. М...

Содержание

 

Ведение. 3

1. Множества и операции над ними. 5

1.1. Основные понятия о множествах. 5

1.2. Операции над множествами. 11

Упражнения. 19

2. Логика высказываний. 22

2.1. Понятие высказывания. 22

2.2. Логические операции над высказываниями. 23

2.3. Сложные высказывания. 27

Упражнения. 32

3. Логика предикатов. 36

3.1. Понятие предиката. 36

3.2. Логические операции над предикатами. 39

3.3. Кванторные операции. 43

Упражнения. 47

4. Приложение математической логики. 50

4.1. Виды теорем и их взаимосвязь. 50

4.2. Необходимое и достаточное условия. 53

4.3. Метод математической индукции. 56

4.4. Теорема дедукции. 58

4.5. Приложение логики высказываний к релейно-контактным схемам. 59

Упражнения. 65

Ответы и указания к решениям. 72

Заключение. 74

Список литературы.. 75

 



Ведение

 

 

Сегодняшняя реформа школы, вызванная информатизацией общества, направлена на гуманизацию образования, она ставит перед школой основную задачу – подготовить школьника к повседневной жизни в современном информационном обществе.

Чем выше уровень развития общества, тем больше требования предъявляются к самому человеку, уровню его собственного развития, его общей культуре. Все более настоятельной необходимостью становиться умение масштабно мыслить и рассуждать, способность глубоко разбираться в происходящих процессах общественной жизни. Отсюда — особое значение логики. Изучение логики открывает возможности надежно контролировать мышление со стороны его формы, проверять его правильность, предупреждать логические ошибки и исправлять их. Главное значение логики состоит в том, что она усиливает наши мыслительные способности и делает наше мышление более рациональным. Поэтому тема «Элементы математической логики в школе» в силу своего универсального применения, занимательности может быть интересна и, безусловно, полезна всем учащимся.

Возможность включения основ математической логики в число факультативных занятий обеспечивается достаточной для их освоения математической подготовкой учащихся, а их включённость в широкий спектр научных отраслей знаний позволяет сделать процесс обучения эффективным, реализовывать компетентностный подход и подготовку к выбору профиля.

С одной стороны материал моей работы позволит углубить, обобщить ранее приобретенные школьниками программные знания по математике, информатике, позволит увидеть уникальность, высокую абстрактность математических объектов (подготовка к математическому профилю), с другой – покажет широкие возможности применения математики в технике, искусстве, в практической деятельности, в быту, применения математики к анализу текста литературных произведений, задач, научит применять логику и здравый смысл к решению различных, в том числе, и жизненных задач (подготовка к выбору технического, гуманитарного и других видов профилей).

Содержание данной работы предполагает решение большого количества логических задач, поскольку решение задач – это практическое искусство, научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь. Мышление, как учит психология, начинается там, где нужно решить ту или иную задачу. Все задачи, их доказательства не вызовут трудности у учащихся, т.к. не содержат громоздких выкладок, а каждая предыдущая готовит последующую, задачи подобраны так, чтобы исключить повторений, продвигаться от простого к сложному, сохраняя занимательность и увлечение. Таким образом, программа применима для различных групп школьников, в том числе, не имеющих хорошей математической подготовки.

Цельюработыявляется разработка учебного пособия, которое млжно применять при проведении факультативных занятий «Элементы математической логики в школе».

Данная тема выбрана мною с целью уточнить и углубить знания об элементах теории множеств и математической логики в школе.


1. Множества и операции над ними.

 

1.1. Основные понятия о множествах.

 

Основные определения.

Примеры: Множество студентов данной учебной группы. Множество планет солнечной системы.

Способы задания множеств.

Множество считается заданным, если мы владеем способом, позволяющим для любого данного элемента определить, принадлежит он данному множеству или не принадлежит.

Множество можно задать, непосредственно перечислив все его элементы, причём, порядок следования элементов может быть произвольным. В этом случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются точкой с запятой и заключаются в фигурные скобки.

Пример 7.

Множество всех гласных букв русского алфавита:

A={а; я; у; ю; э; е;о; ё; и; ы}.

Пример 8.

Множество цифр десятичной системы счисления:

B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}.

Очевидно, что такой способ задания множеств удобно применять для конечных множеств с небольшим количеством элементов.

Конечные и бесконечные множества могут быть заданы другим способом: указанием характеристического свойства, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент данного множества и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.

Пусть P обозначает некоторое свойство, которым обладают все элементы множества А и не обладают элементы никакого другого множества. Тогда множество всех элементов, обладающих свойством Р, обозначим так:

А={х│х обладает свойством Р}={ х│Р(х)}={х : Р(х)}.

Свойство Р, задающее множество А, есть характеристическое свойство множества А.

Пример 9.

Множество чётных натуральных чисел задается с помощью характеристического свойства:

В={х │х – чётное натуральное число}={х │ х=2k, k Є N}.

Пример 10.

Множество всех действительных чисел на отрезке от 1 до 3 включительно запишется следующим образом:

R1-3={y│1≤ y≤ 3, y Є R}.

Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество может быть задано как первым, так и вторым способом.

Пример 11.

Множество натуральных чисел, меньших, чем 10.

Первый способ: N<10={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Второй способ: N<10={z│z<10, z Є N}.

Случается, что одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.

Пример 12.

Множество квадратов.

Первый способ: A={x│x – ромб с прямыми углами}.

Второй способ: A={ x│x – прямоугольник с равными сторонами}.

 

Отношения между множествами.

Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) – рис.1.    

Пересечение множеств.

Определение 4. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и…  

Объединение множеств.

Определение 5. Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит… Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:

Разность множеств.

Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат… Символически разность двух множеств обозначается так: А В, где символ является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем…

Дополнение к множеству.

Пусть В Ì А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или А … Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут или … Определение 8.

Симметрическая разность множеств.

Определение 9.

Симметрическая разность двух заданных множеств A и B — это такое множество , куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

 

(11)

Графически симметрическую разность можно представить в виде:

 

рис. 18

 

Прямое произведение множеств.

Прямым произведением, или декартовымпроизведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар (a,b) таких, что aÎA и…   . (12)

Отрицание.

Отрицание высказывания А обозначается и читается «не А» или «неверно, что А». Логические значения высказывания можно описать с помощью…   А   или   А …  

Импликация.

Импликация высказываний А, В обозначается символом (или ), читается “если А, то В”или ”из А следует В”. Высказывание А называют условием или… Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей…  

Эквиваленция.

Эквиваленция высказываний А, В обозначается символом (или , реже ), читается “для того, чтобы А, необходимо и достаточно, чтобы А”, или “ А…   Например, эквиваленция “Треугольник SPQ с вершиной S и основанием PQ равнобедренный тогда и только тогда, когда P= …

Квантор всеобщности.

Символ называют квантором всеобщности (общности). Переменную х в предикате Р(х) называют свободной (ей можно придавать различные значения из М),…

Квантор существования.

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве М задан двухместный предикат P(x,y). Применение… Рассмотрим предикат P(x) определенный на множестве M={a1,…,an}, содержащем… Если же хотя бы для одного элемента P(ak)окажется ложным, то ложными будут высказывание и конъюнкция .…

Понятие теоремы.

"х А(х)ÞВ(х), хÎU. (1) Ограничимся строением таких теорем. Возьмём, например, теорему: «Во всяком… А(Δ)={в ΔАВС стороны АВ и ВС равны}и В(Δ)={в ΔАВС угол А равен углу С}, заданных на множестве всех…

Обратные теоремы.

Эти примеры свидетельствуют о неравносильности предложений вида А(х)ÞВ(х) и В(х)ÞА(х). В неравносильности предложений такого вида можно…   Поскольку два последних столбца в таблице не оди­наковы, эквиваленция этих формул не является тавто­логией, т. е. они…

Противоположные теоремы.

Если условие или заключение данной теоремы пред­ставляет собой конъюнкцию или дизъюнкцию, то при со­ставлении предложения, противоположного этой…  

Закон контрапозиции.

АÞВ = - закон контрапозиции. Согласно закону контрапозиции: 1) два предложения вида АÞВ и … Пусть, например, требуется доказать утверждение «Если m2 нечетно, то m нечетно». Сформулируем и до­кажем…

Описание переключательных схем с помощью логики высказываний.

Связь между переключательными схемами и алгеброй высказываний устанавливается следующим образом. Каждому переключателю ставится в соответствие… Дизъюнкции AÚB соответствует схема, составленная из двух… Конъюнкции АÙВ соответствует схема, составленная из двух последовательно соединенных контакт А и В.…

Задачи на анализ и синтез релейно-контактных схем.

  а) Для упрощения схемы записываем ее структурную формулу. б) Затем полученную формулу упрощаем равносильным образом до минимального числа вхождения букв.

– Конец работы –

Используемые теги: множества, операции, над, ними0.059

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Множества и операции над ними

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Лекция 1. Понятие множества. Подмножества. Операции над множествами. Алгебра множеств
Множества и операции над ними Понятие множества Т е можно сказать что множество это... Операции над множествами... Объединением суммой двух множеств и называется множество состоящее из всех элементов принадлежащих хотя бы...

А. Множества и операции над ними. Действительные числа
Множества и действия над ними... Множеством именуется некоторая совокупность элементов объединенных по какому либо признаку Если есть такая совокупность разумеется как единое...

Множества, операции над множествами. Отображения множеств
Множества операции над множествами Отображения множеств... Операции над множествами...

Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами.
В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций... На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и... Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное...

Множества, операции над множествами. Отображения множеств
Множества операции над множествами Отображения множеств...

Множества и элементарные операции над множествами
Мы будем использовать следующие символы математической логики... для обозначения соответственно отрицания не и связок и или здесь союз... Символ будет обозначать у нас равно по определению...

Краткий конспект лекций Матрицы и операции над ними
Матрицы и операции над ними... Определение Матрицей называется множество чисел которое составляет...

Числа. Метод математической индукции. Целые числа. Рациональные числа. Многочлены. Операции над многочленами. Корень многочлена
Числа Натуральные числа натуральное число Если n... Метод математической индукции... Тот факт что множество натуральных чисел может быть упорядочено по возрастанию часто используется при доказательстве...

Диапазон голоса и работа над ним
Еще в 1228 году Мишель Скоттус, придворный философ и астролог императора Сицилии и Апулии Фридриха фон Хохенштауфена, в одной из глав своего труда … Итак, голос наиболее полно раскрывает характер, настроение и даже душевные… В действительности, однако, подобный анализ не представляет собой реального выражения голоса, поскольку эти качества…

Матрицы. Действия над ними
Опр Матрицей A размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел состоящая из S строк и n столбцов... элемент матрицы...

0.028
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам