рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Прямое произведение множеств.

Прямое произведение множеств. - раздел Математика, Множества и операции над ними Определение 10. Прямым Произведением, Или Декартовымпроизведе...

Определение 10.

Прямым произведением, или декартовымпроизведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар (a,b) таких, что aÎA и bÎB. При этом используют следующее обозначение:

 

. (12)

 


Упражнения.

 

№ 1. Доказать основные свойства отношения включения:

ХÌ X;

(XÌY) Ç( Y Ì X) Þ X=Y;

(XÌY) Ç( Y ÌZ) Þ XÌZ.

№ 2. Доказать следующие свойства пустого множества:

ÆÌ X; ХÌÆÛ Х=Æ, где Х – произвольное множество.

№ 3. Показать, что для любого натурального n имеет место эквивалентность:

Х1ÌХ2Ì . . . ÌXnÌX1ÛX1=X2= . . . =Хn.

№ 4. Пусть k и n — натуральные числа и k£n. Сколько различных подмножеств из k элементов содержит множество из n элементов? Сколько различных подмножеств содержит множество из n элементов?

№ 5. Используя результаты предыдущей задачи решить следующие:

1. Пусть М — некоторое множество n точек пространства. Сколько можно построить ломаных линий, вершинами которых являются какие-либо k точек из М и только точки из М?

2. Сколько всего ломаных линий, верщины которых суть точки множества М?

№ 6. Опишите каждое из следующих множеств, используя подходящее свойство:

а) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10};

б) {3, 6, 9, 12, 15};

в) {4, 9, 16, 25};

г) {10, 12, 14, 16}

№ 7. Пусть R— числовая прямая; изобразить на ней следующие множества:

а) 3<x<4;

б) х2—5х+6<0;

в) |х|<2.

№ 8. Доказать следующие формулы, выражающие отношение включения через операции объединения и пересечения.

а) XÌYÛXÈY=Y;

б) XÌYÛXÇY=X.

№ 9. Доказать следующие свойства пустого множества:

а) XÈÆ=X;

б) ХÇÆ = Æ.

№ 10. Найти:

а) {а, b, с}Ç{а, с, d, f };

б) {а, b, с}È{b, с};

в) {а, b, с, d){a, f, g, k}

Обозначенные различными буквами элементы различны.

№ 11. Пусть N1 = { 1, 3,7}; N2 = { 0, 1, 3, 4, 8 } . Из каких элементов состоят множества:

а) N1´N2 и N2´ N1;

б) (N1´N2) Ç( N2´ N1) и ( N2´ N1) È(N1´N2);

№ 12. Пусть даны множества А, В, С и , , - дополнения соответствующих множеств А, В, С до универсального множества U. Изобразите при помощи кругов Эйлера следующие множества (АÇВÇ С=Æ):

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) ;

м) ;

№ 13. Используя круги Эйлера, докажите следующие равенства:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .

2. Логика высказываний

 

2.1. Понятие высказывания

 

Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие «простого высказывания».

Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь». Примерами высказываний являются следующие предложения:

Новгород стоит на Волхове.

Париж – столица Англии.

Карась не рыба.

Число 6 делится на 2 и на 3.

Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат.

Высказывания 1), 4), 5) истинны, а 2) и 3) – ложны.

Не всякое предложение является высказыванием. Так, к высказываниям не относятся вопросительные и восклицательные предложения, поскольку говорить об их истинности или ложности нет смысла. Не являются высказываниями и такие предложения: «Каша — вкус­ное блюдо», «Математика — интересный предмет»; нет и не может быть единого мнения о том, истинны эти предложения или ложны. Предложение «Существуют инопланетные цивилизации» следует считать высказыва­нием, так как объективно оно либо истинное, либо лож­ное, хотя никто пока не знает, какое именно. Предложе­ния «Шел снег», «Площадь комнаты равна 20 м2», а2 =4 не являются высказываниями; для того чтобы име­ло смысл говорить об их истинности или ложности, нуж­ны дополнительные сведения: когда и где шел снег, о какой конкретной комнате идет речь, какое число обо­значено буквой а.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).

Изучением высказываний занимается специальная математическая дисциплина – математическая логика, точнее, тот раздел этой науки, который называется логикой высказываний.

Логика высказываний не занимается обоснованием того, почему тому или иному элементарному высказыванию приписано значение истины, а не лжи или, наоборот, лжи, а не истины.

2.2. Логические операции над высказываниями.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Множества и операции над ними

Ведение... Множества и операции над ними Основные понятия о множествах Операции над множествами...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Прямое произведение множеств.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Основные определения.
МНОЖЕСТВОМ называется собрание, совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь общему признаку, свойству. Примеры: Множество студентов данной учебной группы. Множес

Отношения между множествами.
Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера (или диаграммами Эйлера – Венна). Для этого множества, сколько бы они ни содержали эле

Пересечение множеств.
Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} и B={c; d; e}.образуем новое множество Р, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р={c;d}. Тогда говорят,

Объединение множеств.
Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.

Разность множеств.
Определение 6. Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Дополнение к множеству.
Определение 7. Пусть В Ì А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или А В. Если ясно, о

Отрицание.
Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание А ложно, и ложным, если высказывание А истинно. Отрицание высказывания А

Импликация.
Импликацией двух высказываний А, В называется новое высказывание, которое считается ложным, если А истинно, а В – ложно, и истинным во всех остальных случаях. Импликация высказывани

Эквиваленция.
Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний А, В называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания А, В либо одновременно истинны, либо одновременно ложны

Квантор всеобщности.
Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание, истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М, и ложное в противном случае. Это высказ

Квантор существования.
Пусть P(x) - предикат определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент , для которого P(x) истинно, и ложным – в противном случа

Понятие теоремы.
Рассмотрим с точки зрения введённых во второй и третьей главах понятие теоремы. Большинство теорем, встречающихся в школьном курсе математики, представляют собой высказывания в виде "

Обратные теоремы.
Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформулировать обратное ей пред­ложение «если В, то А». Однако не для всякой теоремы предложение, ей обратное, также является те

Противоположные теоремы.
Для всякой тео­ремы, сформулированной в виде импликации АÞВ, мож­но составить противоположное предложение . Пред­ложение, противоположное данной теореме, может быть та

Закон контрапозиции.
Нам осталось рассмотреть соотношение между обратно-противоположными предложениями, т. е. предложениями вида АÞВ и . Имеет место следующая равносильность : АÞВ = - закон контрап

Описание переключательных схем с помощью логики высказываний.
Под переключательными схемами будем понимать схематическое изображение какого-либо устройства, содержащего только двухпозиционные переключатели 9или электрические контакты), т. е. переключатели, ко

Задачи на анализ и синтез релейно-контактных схем.
Пример 3. Упростить релейно-контактную схему и произвести ее анализ работы.   а) Для упрощения схемы записываем ее структурную формулу. б) Затем полученную фо

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги