1.11.1. Пусть f(n.m) – число сочетаний с повторениями из n по m (задача 8.4). Проверьте, что
1.11.2. f(n.0)=1, f(n.1)=n, f(n.m)=f(n-1.m)+f(n.m-1) при 1≤m≤ n-1.
1.11.3. Пусть An(z)= . Проверьте, что An(z)= An-1(z)/(1-z).
1.11.4. Получите формулу для An(z), не содержащую Ai(z) при i<z. Сравните с задачей 1.10.6.
1.11.5. Числа Фибоначчиопределяются следующим образом. B0= B1=1, Bn= Bn-1+ Bn-2 при n=2,3,…. (Фибоначчи – псевдоним итальянского купца 12 века Леонардо Пизанского, который между торговыми операциями занимался своим хобби – математикой. И достиг на этом поприще очень многого…). Обозначим через F(z) производящую функцию последовательности чисел Фибоначчи . Докажите, что F(z)=1+zF(z)+z2F(z) и найдите отсюда F(z).
1.11.6. Пользуясь разложением полученной рациональной дроби на простейшие и разложением функции в степенной ряд при , получите выражение для Bn.
Ответ. . В этой формуле удивительно то, что последовательность целых чисел представлена с использованием иррационального числа .