1.12.1. В группе 25 студентов, 15 занимаются лыжами, 12 – коньками, 8 и тем, и другим. Сколько студентов не занимается этими видами спорта?
1.12.2. (Обобщение) Проверьте, что если A и B – конечные множества, то Здесь - число элементов множества A.
1.12.3. В группе 15 студентов занимаются футболом, 13 – волейболом, 12 – баскетболом, 10 – футболом и волейболом, 11 – волейболом и баскетболом, 12 – футболом и баскетболом, 8 – всеми тремя видами спорта. Сколько студентов занимается хотя бы одним из этих видов спорта?
1.12.4. (Обобщение). Докажите, что для конечных множеств A,B,C справедлива формула
.
1.12.5. Как выглядит аналог формул из упражнений 1.12.2 и 1.12.4 для n множеств?
Ответ.
.
Указание. Один из способов доказательства: проверьте, что каждый элемент учтен в правой части в общей сложности один раз. Для этого предположите, что и воспользуйтесь формулой из задачи 1.12.2.
1.12.6. Сколько существует перестановок чисел 1,2,…,n, в которых
А) число 1 расположено на своем месте?
B) числа 1 и 2 расположены на своих местах?
C) числа 1,2,…,k расположены на своих местах?
D) хотя бы одно из чисел расположено на своем месте?
E) ни одно из чисел не расположено на своем месте (беспорядки)?
1.12.7. Пусть Dn – число беспорядков среди перестановок чисел 1,2,…,n. Найдите . Ответ несколько неожиданный: 1/e. Таким образом, при больших n ПОЛНЫЕ беспорядки составляют примерно треть всех перестановок. Одно из объяснений того, почему в мире так много беспорядка!