ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Прямым произведением множествA1, A2,…, An называется множество
A1´A2´…´ An={(a1 a2,…,an): a1ÎA1, a2ÎA2,…, anÎAn}.
Элементы прямого произведения (a1 a2,…,an) называются векторами или кортежами. Слово «кортеж» вам встречалось, возможно, в обороте «кортеж автомобилей». Так говорят, когда едет группа крупных руководителей. Следуют они в определенном порядке: первым едет самый большой начальник, вторым начальник поменьше, и т.д. Здесь тоже элементы стоят на определенных местах, правда, первый элемент не важнее второго.
Прямое произведение считается пустым, если один из сомножителей – пустое множество.
Упражнение. Перечислите все элементы прямого произведения {1,2} ´{a,b}.
Если множества совпадают, то пишут просто An.
Поначалу может показаться, что приведенная конструкция несколько искусственная. В действительности, вы часто сталкиваетесь с ней, не говоря уже о том, что именно на прямом произведении множеств базируется реляционная модель базы данных – один из важнейших элементов программного обеспечения.
Примеры.
1. В зрительном зале 30 рядов, в каждом по 26 мест. Прямое произведение {1,2,…,30}´{1,2,…,26} это представление множества всех зрительских мест.
2. Прямое произведение {a,b,…,h}´{1,2,…,8} это множество полей шахматной доски.
3. Пусть R – множество вещественных чисел. Тогда R2 это множество точек плоскости, заданных обычными декартовыми координатами (х,y). Аналогично R3 – множество точек пространства. Можно пойти дальше и рассмотреть n-мерное пространство Rn. Многомерные пространства используются в физике (есть теории, в соответствии с которыми наше реальное пространство 10- или 16-мерное), используются они и в экономике.
Словом, прямые произведения вам встречались и раньше, но подобно герою Мольера, который с удивлением узнал, что разговаривает прозой, вы не знали, что это так называется.
Подчеркнем отличия между множеством (там используются фигурные скобки) и прямым произведением.
{a,b}={b,a}, (a,b)¹(b,a), {a,b,a}={a,b}, вектора (a,b,a) и (a,b) расположены в разных пространствах, сравнение их лишено смысла.
Приведем еще одну конструкцию, связанную с прямым произведением. Определим алфавит A – конечное множество {a1,a2,…,an}, элементы которого называются буквами. Языком над алфавитом A называются всевозможные последовательности букв. Таким образом, язык это множество AÈA2ÈA3È…ÈAnÈ… . Разумеется, среди этих «текстов» большинство бессмысленных (например, целые тома, заполненные одной буквой).
Следующее утверждение очевидно.
Теорема 2. Если A1, A2,…, An – конечные множества, то
|A1´A2´…´ An|=|A1|×|A2|×…| An|.