С понятием «функция»в некоторых частных случаях вы познакомились в школе. Приведем общее определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Пусть A, B - множества. Отображением(функцией) f из A в B называется правило, которое каждому элементу множества A сопоставляет некоторый элемент множества B. Обозначение: . Если aÎA, то сопоставленный ему элемент обозначается f(a).
Примеры.
1. Функции x, sin x, x2 отображают множество вещественных чисел в то же множество.
2. Функция , определенная правилом
, где b – фиксированный элемент множества B это постоянная функция.
3. Тождественная функция , определенная по правилу Обозначение от слова «identification».
Введем важные понятия образа и прообраза множества при отображении.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Образом множестваA1ÌA при отображении называется множество
.
Прообразом множестваB1ÌB при отображении называется множество . Образом и прообразом пустого множества по определению являются пустые множества.
Примеры. Образом множества [-1,1] при отображении x2 является отрезок [0,1]. Прообраз одноэлементного множества {1} при этом отображении это двухэлементное множество {-1,1}. Образом любого непустого множества при постоянном отображении из примера 2 является одноэлементное множество {b}. При отображении из примера 2 прообраз любого множества, содержащего элемент b, есть множество A; прообраз есть Æ, если множество B1 элемента b не содержит. Прообраз и образ любого множества при тождественном отображении совпадают с этим множеством.
Определим две операции над отображениями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Пусть и отображения. Их композицией (суперпозицией)называется отображение
, определенное по правилу .
Говорить о коммутативности введенной операции не имеет смысла, поскольку в общем случае отображение не определено. Даже если отображение определено, то совпадать с оно не обязано. Например, если f=sin x, g=x2, то . Это разные функции. Например, первая неотрицательная, вторая нет.
В то же время операция суперпозиции является ассоциативной. Если , , то отображения и совпадают (проверьте это!). Как обычно, ассоциативность позволяет опускать скобки!
Справедливы также очевидные свойства
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Отображение называется обратнымк отображению ,если .
Ранее символ использовался для обозначения прообраза множества. Из контекста обычно ясно, о чем идет речь: понятие прообраза применимо к множествам, а обратного отображения – к отдельным элементам.
Не всякое отображение имеет обратное. Проверьте, например, что не существует обратного отображение к x2:R®R. Отображение, которое имеет обратное, называется обратимым.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ.Если отображения и обратимы, то отображение также обратимое, причем .
Доказательство. Для доказательства достаточно проверить тождества из определения.
.
.
Здесь использована ассоциативность композиции и простые тождества, приведенные ранее. Это равенство имеет простую интерпретацию. Вы, когда одеваетесь, сначала надеваете пиджак, потом пальто. При раздевании последовательность действий противоположная.
Важную роль в дальнейшем играет один класс отображений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Отображение называется взаимно однозначным соответствием (биекцией), если
1.
2. Из условияf(a1)= f(a2) следует, что a1= a2.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Суперпозиция взаимно однозначных соответствий является взаимно однозначным соответствием.
Доказательство. Пусть , - взаимно однозначные соответствия.
1. в силу свойства 1 взаимно однозначных соответствий.
2. Пусть (a1)= (a2). Из условия и взаимной однозначности отображения следует, что , отсюда в силу взаимной однозначности отображения следует, что a1= a2, что и требовалось.
Существует тесная связь между обратимостью и взаимной однозначностью.
Теорема 4. Отображение является обратимым тогда и только тогда, когда оно является взаимно однозначным соответствием.
Доказательство. 1. Пусть отображение обратимо, т.е. существует обратное отображение . Пусть yÎB, . По определению обратного отображения, , т.е.
Отсюда поскольку y – произвольный элемент B, получаем: . Пусть теперь f(a1)= f(a2). Применим к обеим частям этого равенства обратное отображение . Тогда f(a1))= f(a2))= a2. Тем самым отображение f является взаимно однозначным.
2. Пусть теперь отображение взаимно однозначное. Рассмотрим прообраз одноэлементного множества . В силу первого свойства взаимно однозначного отображения , в силу второго свойства это множество состоит из одного элемента. Положим , если (смысл символа в этих выражениях различен!). Проверьте, что это отображение является обратным к f.
Понятие обратной функции знакомо из школьного курса математики, однако, там изложение было несколько запутанным. Например, знаете ли вы, каковы обратные функции для функций
sin x, x2:R® R (R – множество вещественных чисел)? Многим ответ покажется странным: таких функций… не существует! Во-первых, значения этих функций не совпадают с множеством всех вещественных чисел (для sin x область значений [-1,1], для x2 – [0,¥)). Кроме того, (-1)2=12=1, sin 0=sin p=0, т.е. значения этих функций в разных точках совпадают.
Что же тогда такое arcsin, например? Рассмотрим те же функции, но будем считать, что они заданы на меньших множествах:
.
Эти отображения являются взаимно однозначными, следовательно по доказанной теореме являются обратимыми. Обратные отображения обозначают arcsin x и . Проанализируйте самостоятельно функции cos, tg, ctg.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ.Отображение, обратное к взаимно однозначному соответствию, также является взаимно однозначным соответствием.
Это фактически доказано при доказательстве предыдущей теоремы.