Уже отмечалось, что конечное множество не равномощно своей части, в то же время, бесконечное множество может быть равномощным своей части. Оказывается, это характеристическое свойство бесконечных множеств.
Теорема 12.Всякое бесконечное множество равномощно некоторой своей части.
Доказательство. Пусть A – бесконечное множество. По теореме 9, существует счетное множество . Не исключается случай равенства этих множеств! Построим следующее отображение:
f(x) = x при xÏ , f(ai) = ai+1 (i=1,2,…).
Очевидно, что f – взаимно однозначное соответствие между A и A{a1}, что и требовалось.
Теорема 8 утверждает, что множество [0,1] «массивнее» множества N. Между этими двумя множествами существует тесная связь.
Теорема 13. |[0,1]|=
Для доказательства надо установить взаимно однозначное соответствие между булеаном множества N и отрезком [0,1]. Нам потребуется запись чисел из отрезка [0,1] в двоичной системе счисления, т.е. в виде , где =0 или 1 при n=1,2,… (вам известно, как число представить в таком виде). Пусть AÌN. Сопоставим ему число в двоичной записи, где тогда и только тогда, когда nÎA. По числу множество A восстанавливается однозначно, т.е. установлено взаимно однозначное соответствие между множеством записей вида и множеством (В этом рассуждении есть пробел, найдите его! Его нетрудно заполнить, но мы этого делать не будем).
Мощность точек отрезка [0,1] называется мощностью континуума.
Отмечалось, что счетные множества это самые «маленькие» бесконечности. Естественным является вопрос: существует ли «самая большая» бесконечность или дорога вверх не имеет конца? Оказывается, справедливо второе: для каждого множества найдется более «мощное», а именно:
Теорема 14.(Вторая теорема Кантора) для всякого множестваA.
Отметим, что в частных случаях этот факт вам уже известен: для конечных множеств это теорема 1, для счетных – теорема 13.
Доказательство в некотором смысле аналогично диагональному методу Кантора.
Вначале проверим, что (легкая часть). Рассмотрим подмножество , состоящее из одноэлементных множеств. = , поскольку отображение , имеющее вид , является взаимно однозначным соответствием. Итак, в есть подмножество, равномощное A, что и требовалось.
Докажем теперь, что (трудная часть). Доказательство будем проводить от противного. Пусть напротив . Это значит, что существует взаимно однозначное отображение . Важно, что любое подмножество является образом некоторого элемента множества ! Для каждого элемента aÎ выполняется одно из двух свойств: либо aÎf(a), либо aÏf(a), причем существуют элементы каждого из двух видов: если f(u)=A (по предположению такой элемент существует), то u – элемент первого вида, если f(v)=Æ (по предположению такой элемент также существует), то v – элемент второго вида. Рассмотрим множество, состоящее из элементов второго вида: . По предположению, существует элемент bÎA, для которого Если наше предположение о равномощности справедливо, то либо bÎV, либо bÏV.
Пусть bÎV. По определению V это означает, что – противоречие! Пусть теперь bÏV. Поскольку в V входят ВСЕ элементы A, для которых , то b этим свойством не обладает и потому bÎV. И здесь противоречие!
Мощность множества иногда называют мощностью гиперконтинуума.