1. Существуют ли такие множества A,B,C, что
2. Справедливы ли следующие утверждения для любых A,B,C?
А) Если A¹B и B¹ C, то A¹С.
B) Если , то С=Æ.
3. Решите системы уравнений (A,B,C – данные множества, X – неизвестное):
.
Указание. Выясните вначале, как связаны между собой множества A,B,C.
4. Для следующих пар множеств U, V найдите необходимые и достаточные условия для множеств A,B,C, при которых UÌ V, VÌ U, U= V.
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
H)
I)
Указание. На двух изображениях множеств A,B,C в общем положении отметьте на одном множество U, на другом множество V, Затем найдите множество, которое является частью U и не пересекается с V, и опишите его. Аналогично с множеством V.
5. Булеан конечного множества A разбивается на две части: в одну входят подмножества с четным числом элементов, в другую – с нечетным. Докажите, что в каждой части число элементов равно .
6. Изобразите на координатной плоскости множества [1,2]´[3,4],{1,2}´[3,4], {1,2}´{3,4}.
7. Справедливы ли равенства
,
?
8. Бинарному отношению на множестве вещественных чисел соответствует подмножество плоскости (определяющее множество). Какими свойствами обладает определяющее множество для рефлексивных, антирефлексивных, симметричных, антисимметричных, транзитивных отношений?
9. Постройте на множестве {1,2,3} бинарное отношение, которое является
А) рефлексивным, симметричным, не транзитивным;
B) не рефлексивным, симметричным, транзитивным;
С) рефлексивным, не симметричным, транзитивным;
D) не рефлексивным, антисимметричным, транзитивным;
Е) антирефлексивным, антисимметричным, транзитивным.
10. Установите, какими из описанных свойств (определение 4) обладают бинарные отношения на множестве {1,2,3}:
А) {(1,2),(2,1),(2,3)},
B) {(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)},
C) {(1,2),(2,3),(1,3)}.
11. Проверьте, что следующие бинарные отношения являются отношениями эквивалентности и опишите классы эквивалентности.
А) На множестве натуральных чисел: остатки от деления чисел на 5 равны.
В) На множестве натуральных чисел: неполные частные от деления чисел на 5 равны.
С) На множестве пар вещественных чисел: ((a,b),(c,d))ÎG, если a+d=b+c.
D) На множестве вещественных чисел, определяющее множество которого состоит из всей плоскости за исключением осей координат, но включает точку (0,0).
12. Сформулируйте и докажите теорему, обратную к теореме 3.
13. Установите, являются ли следующие бинарные отношения отношениями порядка.
А) На множестве натуральных чисел: остаток от деления на 5 числа a меньше остатка от деления на 5 числа b.
B) На множестве натуральных чисел: неполное частное от деления на 5 числа a меньше неполного частного от деления на 5 числа b.
С) На множестве положительных вещественных чисел c определяющим множеством {(a,b):b<a/2}.
D) На множестве положительных вещественных чисел c определяющим множеством {(a,b): b<2a}.
14. Пусть отображения f,g: R® R имеют вид
Найдите отображения .
15. Для отображения g из предыдущего упражнения найдите множества
16. Докажите, что . Здесь f: - отображение, .
17. Пусть f: , A1Ì A, B1Ì B. Всегда ли справедливы равенства
f -1(f(A1))= A1, f (f -1 (B1))= B1?
18. Пусть f: , A1, A2Ì A, B1, B2Ì B. Всегда ли справедливы равенства f(A1ÈA2)=f(A1)Èf(A2), f(A1ÇA2)=f(A1)Çf(A2),
f -1(B1È B2)= f -1 (B1)È f -1(B2), f -1(B1Ç B2)= f -1 (B1)Ç f -1(B2)?
19. Пусть отображение таково, что - тождественное отображение. Докажите, что - взаимно однозначное соответствие.
20. Пусть |A|=n, |B|=m. Сколько всего существует отображений Сколько существует отображений , которые
А) обладают свойством при m=2,3;
В) таковы, что из условия f(a1)= f(a2) следует, что a1= a2;
С) являются взаимно однозначными соответствиями?
21. Постройте взаимно однозначное соответствие между множествами
А) N и N{1},
В) [0,1) и [0,¥),
С) [0,1) и (10,20],
D) [0,1) и [0,1],
E) множеством всех последовательностей натуральных чисел и множеством всех возрастающихпоследовательностей натуральных чисел,
F) множеством всех конечных подмножеств множества N и множеством N,
G) множеством точек единичного квадрата и множеством чисел [0,1].
22. Докажите, что следующие множества являются счетными.
А) Множество точек на плоскости, обе координаты которых - рациональные числа.
В) Бесконечное множество непересекающихся кругов на плоскости.
С) Множество всех конечных подмножеств множества N.
D) Множество всех целых чисел.
Е) Множество всех многочленов с целыми коэффициентами.