Компьютерные представления графов - раздел Математика, ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
Естественно, Графы Представляются В Виде Некоторых Наборов Да...
Естественно, графы представляются в виде некоторых наборов данных. Подобных представлений существует множество, у каждого есть свои достоинства и недостатки. Общий недостаток состоит в том, что предварительно надо занумеровать вершины (иногда и ребра), это приводит к сложностям, например, при проверке изоморфизма графов. Приведем три наиболее распространенных представления.
1. Матрица смежностиS(Г).
Это квадратная матрица размеров p´p (как обычно, p – число вершин). Для ее построения надо занумеровать вершины. Матрица S(Г) булева (ее элементы 0 или 1). S(Г)ij=1 тогда и только тогда, когда в графе существует дуга (ai,aj). Таким образом, каждой дуге графа соответствует 1 в матрице смежности и наоборот, на главной диагонали расположены нули. Матрица смежности неориентированного графа симметрическая. Матрицу смежности можно определить и для псевдографа, тогда на главной диагонали могут быть и единицы.
Такое представление неэкономно в случае, если в графе мало дуг (в матрице в основном нули).
2. Матрица инциденцийI(Г).
Размеры этой матрицы q´p. Для ее построения необходимо занумеровать и вершины, и дуги. В каждой строке матрицы для ориентированного графа присутствуют один элемент –1 , один элемент 1, остальные 0.Для неориентированного графа – две единицы, остальные нули. I(Г)ij=–1 (1), если i-я дуга исходит из j-й вершины (приходит в j-ю вершину), модификация для неориентированного графа очевидна. Это представление целесообразно использовать при малом числе дуг. Дополнительную сложность доставляет двойная нумерация.
3. Список дуг.
Это матрица размеров q´2. Каждая строка соответствует дуге. На первом месте номер начальной вершины дуги, на втором – конечной. Этот способ имеет те же недостатки, что и предыдущий, но экономнее.
Введенные матрицы S(Г) и I(Г) обладают рядом интересных свойств. Сформулируем две теоремы такого типа.
Теорема 15.Элемент Sn(Г)ij n-й степени матрицы S(Г) равен числу маршрутов длины n, соединяющих i-ю вершину графа с j-й. (Соответствующие понятия см. в следующем разделе).
Теорема 16.Пусть L(Г) – граф, смежный к неориентированному графу Г. Справедливо равенство S(L(Г))=I(Г)IТ(Г)-2Eq. Здесь IТ(Г) – транспонированная матрица, Eq – единичная матрица q´q, в правой части используется обычное умножение матриц.
Все темы данного раздела:
Основной принцип комбинаторики
1.1.1 . От Москвы до Уфы можно добраться поездом, самолетом или теплоходом, а от Уфы до Чишмов – поездом, автобусом или на такси. Сколькими способами можно в совокупности добраться
Размещения с повторениями
1.2.1 . Замок в автоматической камере хранения состоит из 4 дисков, на каждом из которых написаны буквы а, б, в, г, д, е. Сколько различных кодов можно получить?
1.2.2 . В
Размещения без повторений
1.3.1 . Сколько словарей следует издать, чтобы можно было переводить тексты непосредственно с любого из шести языков на каждый из них? А если языков десять?
1.3.2 . Каков о
Перестановки
1.4.1 .Сколькими способами могут встать в очередь 10 человек?
1.4.2 . Каков ответ в задаче 1.3.3, если студентов 20?
1.4.3 . Каков ответ в задаче 1.3.4, если разли
Сочетания (без повторений)
1.5.1 .В шахматном турнире участвовали 10 человек. Сколько состоялось партий, если каждая пара игроков встретилась один раз?
1.5.2 .Из колоды карт (36 штук) игрок получает
Свойства биномиальных коэффициентов
1.6.1. Докажите, что . Сделайте это четырьмя способами: по определению, по формуле и используя результаты задач 1.5.6 и 1.5.7.
1.6.2. Докажите, что
.
Сдел
Разбиения множеств
Число сочетаний можно интерпретировать как число способов, которым n-элементное множество можно разбить на два подмножества, в одном из которых m, а во втором ( ) элем
Сочетания с повторениями
1.8.1. В магазине продаются карандаши двух видов. Сколькими способами можно купить пять штук? А если надо купить 8 карандашей 4 видов?
1.8.2. Каков ответ в задаче 1.2.4, ес
Разные задачи
В предыдущих параграфах вы познакомились с основными приемами элементарной комбинаторики. В этом параграфе эти приемы (или их комбинации) применяются в различных ситуациях.
Производящие функции
По биному Ньютона (задача 1.5.7) коэффициентами многочлена являются величины .
1.10.1. Каков смысл коэффициентов при zm многочленов
Использование рекуррентных соотношений
1.11.1. Пусть f(n.m) – число сочетаний с повторениями из n по m (задача 8.4). Проверьте, что
1.11.2. f(n.0)=1, f(
Формула включений и исключений
1.12.1. В группе 25 студентов, 15 занимаются лыжами, 12 – коньками, 8 и тем, и другим. Сколько студентов не занимается этими видами спорта?
1.12.2. (Обобщение) Проверьте, ч
Комбинаторные величины при больших значениях параметров
1.13.1. Докажите, что при n≥2.
1.13.2. Докажите, что биномиальные коэффициенты возрастают при возрастании k от 0 до и убывают при возрастании k о
Булеан множества
Каждое множество порождает новое множество несколько необычным образом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Булеаном множестваA называется совокупность всех подмножеств множества A
Прямое произведение множеств
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Прямым произведением множествA1, A2,…, An называется множество
A1´A
Отношения на множествах
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. n-арным отношением на множествеA называется подмножество G прямого произведения An. Таким образом, n-арное отношение на A
Отображения (функции)
С понятием «функция»в некоторых частных случаях вы познакомились в школе. Приведем общее определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Пусть A, B - множества. Отображением(ф
Мощность множеств
Речь пойдет о том, как сравнивать между собой разные множества. Начнем с простого примера. Перед вами кучки болтов и гаек. Требуется ответить на вопрос: поровну ли деталей в этих ку
Счетные множества
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Множество, равномощное множеству N, называется счетным.
Иными словами счетными являются такие множества, элементы которых можно занумеровать н
Некоторые свойства бесконечных множеств
Уже отмечалось, что конечное множество не равномощно своей части, в то же время, бесконечное множество может быть равномощным своей части. Оказывается, это характеристическое
Вопросы для самопроверки
1. Что такое объединение, пересечение, дополнение, симметрическая разность множеств?
2. Какими алгебраическими свойствами обладают операции над множествами?
3. Что
Упражнения
1. Существуют ли такие множества A,B,C, что
2. Справедливы ли следующие утверждения для любых A,B,C?
А) Если A¹B и B¹ C, то
Маршруты и связность
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22.Маршрутом (путем)в графе называется последовательность вида , где v – вершины, e – дуги, . Этот маршрут соединяет вершины
Кратчайшие пути в графах
Рассмотрим следующую задачу. В графе Г выделены две вершины: b (начальная) и e (конечная). Требуется найти все пути минимальной длины из b в e (если e
Деревья
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 25.Лесомназывается неориентированный граф без циклов. Деревомназывается связный лес.
Таким образом, дерево характеризуется тремя
ПРЕДЛОЖЕНИЕ.
1. Всякие две вершины дерева можно соединить единственной цепью.
2. Если в дереве не менее двух вершин, то у него не менее двух листов.
Доказательство.
1. Поскольку дерев
Кодирование деревьев
Для помеченных деревьев существует эффективный способ кодирования(его можно использовать для компьютерного представления деревьев).
Найдем лист с минимальным номером, удали
Центр дерева
Под расстоянием d(a,b) между вершинами неориентированного графа, как и ранее, понимается минимальное число дуг в пути, соединяющем эти вершины.
Минимальное остовное дерево(остов)
Пусть некоторое семейство пунктов требуется связать сетью дорог. Известна стоимость прокладки дороги между теми парами пунктов, для которых это возможно. Стоимость прокладки сети до
Эйлеровы графы
Вернемся к задаче Эйлера о кенигсбергских мостах. По существу, задача сводится к построению в графе цикла, который содержит каждую дугу графа по одному разу. Графы, в которых такой
Гамильтоновы графы
Понятие гамильтонова графа очень близко к понятию эйлерова графа, но между ними пропасть, как вскоре выяснится!
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 28.Цикл в графе называется г
Графовые векторы
Понятие степени вершины было введено выше.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 29.Графовым вектором(иногда говорят о графовом разбиении) неориентированного графа называется
Паросочетания и реберные покрытия
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 30.Паросочетаниемв неориентированном графе называется семейство дуг, попарно не имеющих общих вершин.
Очевидно, что подмножество паросоч
Паросочетания в двудольных графах
Двудольные графы упоминались ранее, но формального определения не было.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 32.Граф Г называется двудольным, если множество его вершин являе
Правильная нумерация вершин графа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 33.Нумерация вершин в ориентированном графе называется правильной(или топологической), если наличие дуги (vi,vj
Сетевые графики
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 34.Сетевым графикомназывается ориентированный взвешенный ациклический граф с единственным истоком и единственным стоком.
Сетевые графики
Потоки в сетях
Весам дуг можно дать иную интерпретацию, в результате возникает интересная и важная задача. Пусть в ориентированном взвешенном графе выделены две вершины (b – начальная и
Вопросы для самопроверки
1. Что такое граф? Из чего он состоит? Какие виды графов вы знаете?
2. Какие вершины, дуги называются смежными? Инцидентными?
3. Какие графы называются изоморфными
Упражнения
1. Существует ли неориентированный граф, степени всех вершин которого различны?
2. Постройте неориентированный граф, степени вершин которого равны 2,2,2,3,3,4,5. Существует
Предметный указатель
n-арное отношение на множестве, 21
алгоритм Дейкстры, 50
алгоритм построения матрицы достижимости, 48
Новости и инфо для студентов