Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат . В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат.
Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной ). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной ( декартовой ) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта).
График 1.2.1.1.
В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная или трехмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x , y , z и называются, соответственно, абсциссой , ординатой и аппликатой . Координатная ось OX называется осью абсцисс , ось OY – осью ординат , ось OZ – осью аппликат . Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.
График 1.2.1.2.
Координаты точки в декартовой системе координат. Важно отметить, что порядок записи координат существенен; так, например, точки A (–3; 2) и B (2; –3) – это две совершенно различные точки.
Как определить координаты точки в декартовой системе координат? Проведем через точку A прямые (в трехмерном случае – плоскости), перпендикулярные осям. Расстояния от точек пересечения построенных прямых (плоскостей) с осями абсцисс, ординат (аппликат) до начала координат, взятые со знаком «+», если точки лежат на положительных полуосях, и со знаком «–», если они лежат на отрицательных полуосях, и будут координатами точки A . Координаты точки записываются в скобках: например, A (–3; 2) или B ( x 0 ; y 0 ). В трехмерном пространстве координаты точки в декартовой системе координат записываются тремя числами, например, C (5; 0,2; –6).
Рисунок 1.2.1.1.
Координатные оси делят координатную плоскость на четыре квадранта (четверти). Точки, лежащие на осях координат, не принадлежат ни одному квадранту.
В двухмерной системе координат все точки, лежащие над (под) осью OX , образуют верхнюю (нижнюю) координатную полуплоскость . Все точки, лежащие правее (левее) оси OY образуют правую (левую) координатную полуплоскость.
Модель 1.5. Расстояние между городами.
В конце этого параграфа приведем некоторые очевидные формулы.
График 1.2.1.3.
На случай трехмерного пространства эти формулы обобщаются следующим образом:
Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для обеих осей.
· Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° еe положительное направление совпало с положительным направлением оси OY. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат OX и OY, называются координатными углами
· Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x0 и y0.
Координата x0 называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A.
· Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату.
Если точка A лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату.
Если точка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату.
Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.
·
· Расстояние между двумя точками: BC= (x1−x2)2+(y1−y2)2
· Координаты середины отрезка BC: x=2x1+x2 y=2y1+y2
· Координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении: если DBCD=k2k1, то
x=k2k1+k2 x1+k1k1+k2 x2,
y=k2k1+k2 y1+k1k1+k2 y2
· Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: (y - y1)(x2 - x1) = (x - x1)(y2 - y1).
Если x1 =x2 y1 =y2 , то это уравнение можно записать в виде
y−y1y2−y1=x−x1x2−x1
· Уравнение окружности с центром в начале координат: x2 + y2 = R2
· Уравнение окружности с центром в точке (x0;y0) : (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2