Розглянемо найпростішу систему рівнянь, що складається з двох лінійних рівнянь з двома невідомими, тобто систему другого порядку. Розв’яжемо систему рівнянь:
методом послідовного виключення невідомих. З цією метою виключемо з початку невідоме . Для цього знайдемо добуток першого рівняння на , а другого – на . Після додавання першого та другого рівнянь змінна
.
Виключивши аналогічно змінну, будемо мати
,
якщо . Число
– це визначник другого порядку таблиці (матриці) чисел .
Введемо ще такі визначники
.
Числа -елементи визначника. Таким чином, розв’язок систем двох лінійних рівнянь можна записати так:
.
Визначник, що утворює знаменник дробу, називається визначником системи, а визначники, що є чисельниками дробів, утворені із визначника системи зміною коефіцієнтів при невідомих відповідно на вільні члени цієї системи. Останні формули називаються формулами Крамера, або правилом Крамера для розв’язання двох рівнянь з двома змінними.
Приклад. Розв’язати систему
за правилом Крамера: