Властивості визначників та методи їх обчислювання

 

1.Властивості рівноправності рядків та стовпців. Якщо замінити рядки визначника відповідними стовпцями, величина визначника не зміниться, тобто

 

 

Справедливість цієї властивості легко перевірити, обчислюючи обидва визначники за правилом трикутника.

2.Властивість антисиметрії при перестановці двох рядків (двох стовпців).

При перестановці двох рядків (стовпців) визначник зберігає свою абсолютну величину, але змінює знак на протилежний, тобто

 

.

 

Цю властивість можна перевірити безпосереднім обчислюванням. Отже, визначник з двома однаковими стовпцями (рядками) дорівнює нулю. Дійсно, з одного боку, при перестановці однакових стовпців визначник не змінюється, а за другою властивістю він змінює знак, тобто , звідки.

Для встановлення інших властивостей визначників введемо поняття мінору елемента визначника.

Мінор елемента визначника третього порядку є визначник другого порядку, одержаний із даного викреслюванням i-го рядка та j-го стовпця. Алгебричним доповненням -елемента визначника є:. Розвиваючи визначник третього порядку за елементами першого рядка, будемо мати:

.

 

Аналогічна формула має місце по відношенню до будь-якого рядка (стовпця). Таким чином, визначник можна подати у вигляді

 

,

або

.

 

Зазначимо, якщо у визначнику замінити елементи першого рядка на відповідні елементи другого рядка , то при цьому не зміняться, тому що вони не містять елементів першого рядка. Отже, якщо у визначнику замість першого рядка поставити другий,, Отже перший та другий рядки визначника однакові. Цей визначник дорівнює нулю. Таким чином,

 

.

 

На основі зазначених формул можна довести такі властивості визначника:

3.Сума добутків елементів будь-якого ряду на алгебричні доповнення цих елементів дорівнює величині визначника, а сума добутків елементів будь-якого ряду на алгебричні доповнення відповідних елементів паралельного ряду дорівнює нулю.

4. Якщо елементи будь-якого ряду мають загальний множник, то його можна винести за знак визначника.

5. Визначник дорівнює нулю, якщо він має рядок(стовпець) з усіма рівними нулю елементами.

Четверта та п’ята властивості виходять із третьої.

6. Якщо елементи будь-якого ряду є сума двох доданків, то визначник можна подати у вигляді додатку двох визначників, у яких елементи даного ряду дорівнюють відповідним доданкам.

Цю властивість легко довести, якщо використати третю властивість. Нехай

,

тоді

.

 

7. Визначник за своєю величиною не зміниться, якщо до елементів будь-якого ряду додати елементи паралельного ряду, які помножені на одне і те саме число. Замінимо, наприклад, елементи першого рядка елементами . Тоді відповідно до шостої властивості одержаний визначник дорівнює сумі двох визначників, перший з них – початковий, а у другого перший рядок буде . Якщо внести за знак визначника, одержимо визначник з однаковими рядками, який дорівнює нулю (друга властивість).

Зауважимо, що усі властивості визначників, що наведені для визначника третього порядку,залишаються вірними для визначників будь-якого порядку.

Таким чином,якщо мати на увазі означення визначника та його властивості, можна вказати три основних засоба обчислення визначників будь-якого порядку,а саме:

1.Розвинення за елементами будь-якого ряду(за означенням)

2.Зниження порядку(на основі сьомої властивості визначник перетворюється так,що елементами будь-якого ряду є тількі одна одиниця,а остані елементи дорівнюють нулю)

3.Приведення визначника до трикутного вигляду(на основі сьомої властивості)

Приклад . Обчислити визначник.

 

.

 

При цьому третій рядок визначника помножено на (-3) та додано до другого рядка, далі третій рядок помножено на (-4) та додано до першого рядка. .

Приклад. Обчислити визначник четвертого порядку

.

 

З цією метою використаємо третю та сьому властивості. Перший рядок залишимо без зміни, а до другого треба додати перший, який помножимо на (-2). Четвертий рядок треба додати до першого, який помножимо на 2, будемо мати:

.

 

Розвинемо визначник за другим стовпцем, маємо:

 

 

.

 

 

Аналогічно понижуємо порядок здобутого визначника. Другий рядок залишимо без зміни; перший додамо до другого, помноженого на (-7); третій додамо до другого, помноженого на 19. Будемо мати:

 

.

 

За допомогою аналогічних перетворень визначникго порядку можна привести до трикутного вигляду:

 

.

 

У здобутому визначникові усі елементи , що стоять під головною діагоналлю, дорівнюють нулю, а його величина дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі.