У загальному випадку систему n лінійних рівнянь з n невідомими записують у вигляді:
де – невідомі;
-матриця системи
– коефіцієнти вільних членів
Розв’язком системи лінійних рівнянь називається сукупність чисел , яка є розв’язком кожного з рівнянь системи. Наведена форма запису називається канонічною. Існують форми запису:
матрична ,
де – матриця системи рівнянь розміру ;
– матриця-стовпець розміру ;
– матриця-стовпець розміру ;
Якщо помножити обидві частини рівності праворуч на , одержимо
За визначенням оберненої матриці , а , тобто .
Приклад. Розв’язати систему лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці
Матриця системи
; .
Обчислимо визначник
.
Знайдемо матрицю, обернену матриці .
1. Складемо матрицю з алгебричних доповнень
.
2. Транспонуємо матрицю
.
3. Поділимо матрицю на величину визначника
.
4. Перевіримо правильність обчислень
× .
Отже, обернена матриця знайдена правильно.
5. Визначаємо розв’язок ситеми
× .
Таким чином
; ; .