Розглянемо матрицю = . Мінором k-го порядку матриці А називають визначник матриці, усі елементи якого знаходяться на перетині вибраних k рядків і k стовпців матриці А, і позначається . Порядок мінору матриці не може бути більшим, ніж найменше з чисел m, n, тобто .
Ранг матриці А – це число r яке дорівнює найвищому порядку відмінного від нуля її мінору: . Для знаходження рангу матриці використовують еквівалентні перетворення матриць. Можна довести, що ранги еквівалентних матриць однакові.
Приклад. Знайти ранг матриці
.
Знайдемо мінор 3-го порядку
.
Але маємо мінор другого порядку, який відмінний від нуля:
.
Таким чином, ранг матриці дорівнює 2.
Для обчислення рангу матриці важливе значення мають елементерні перетворювання матриці, при яких її ранг не змінюється. Елементарними перетворюваннями матриці називають:
а) множення всіх елементів рядка на одне і те саме число, відмінне від нуля;
б) додавання до елементів ряда матриці відповідних елементів іншого ряда, помножених на одне і те саме число;
в) переміщення місцями рядів в матриці;
г) викреслення рядів матриці, всі елементи яких дорівнюють нулю.
Матриці,що одержуються елементарними перетворюваннями,називаються еквівалентними .
Приклад: Знайти ранг матриці
.
,
тобто ранг матриці дорівнює 2.