Реферат Курсовая Конспект
Деление многочленов - раздел Математика, Многочлен и его стандартный вид При Делении Многочлены Представляются В Канонической Форме И Располагаются По...
|
При делении многочлены представляются в канонической форме и располагаются по убывающим степеням какой-либо буквы, относительно которой определяется степень делимого и делителя. Степень делимого должна быть больше или равна степени делителя.
Результатом деления является единственная пара многочленов – частное и остаток, которые должны удовлетворять равенству:
< делимое > = < делитель > ´ < частное > + < остаток >.
Если многочлен степени n Pn(x) является делимым,
многочлен степени m Rk(x)является делителем (n ³ m),
многочлен Qn – m(x) – частное. Степень этого многочлена равна раз-ности степеней делимого и делителя,
а многочлен степени k Rk(x) является остатком (k < m).
То равенство
Pn(x) = Fm(x)× Qn – m(x) + Rk(x) (1.1)
должно выполняться тождественно, то есть, оставаться справедливым при любых действительных значениях х.
Ещё раз отметим, что степень остатка k должна быть меньше степени делителя m. Назначение остатка – дополнить произведение многочленов Fm(x) и Qn – m(x) до многочлена, равного делимому.
Если произведение многочленов Fm(x)× Qn – m(x) дает многочлен, равный делимому, то остаток R = 0. В этом случае говорят, что деление производится без остатка.
Алгоритм деления многочленов рассмотрим на конкретном примере.
Пусть требуется разделить многочлен (5х5 + х3 + 1) на многочлен (х3 + 2).
1. Разделим старший член делимого 5х5 на старший член делителя х3:
.
Ниже будет показано, что так находится первый член частного.
2. На очередное (поначалу первое) слагаемое частного умножается делитель и это произведение вычитается из делимого:
5х5 + х3 + 1 – 5х2(х3 + 2) = х3 – 10х2 + 1.
3. Делимое можно представить в виде
5х5 + х3 + 1 = 5х2(х3 + 2) + (х3 – 10х2 + 1). (1.2)
Если в действии (2) степень разности окажется больше или равна степени делителя (как в рассматриваемом примере), то с этой разностью действия, указанные выше, повторяются. При этом
1. Старший член разности х3 делится на старший член делителя х3:
.
Ниже будет показано, что таким образом находится второе слагаемое в частном.
2. На очередное (теперь уже, второе) слагаемое частного умножается делитель и это произведение вычитается из последней разности
х3 – 10х2 + 1 – 1×(х3 + 2) = – 10х2 – 1.
3. Тогда, последнюю разность можно представить в виде
х3 – 10х2 + 1 = 1×(х3 + 2) + (–10х2 + 1). (1.3)
Если степень очередной разности окажется меньше степени делителя (как при повторе в действии (2)), то деление завершено с остатком, равным последней разности.
Для подтверждения того, что частное является суммой (5х2 + 1), подставим в равенство (1.2) результат преобразования многочлена х3 – 10х2 + 1 (см.(1.3)): 5х5 + х3 + 1 = 5х2(х3 + 2) + 1×(х3 + 2) + (– 10х2 – 1). Тогда, после вынесения общего множителя (х3 + 2) за скобки, получим окончательно
5х5 + х3 + 1 = (х3 + 2)(5х2 + 1) + (– 10х2 – 1).
Что, в соответствии с равенством (1.1), следует рассматривать как результат деления многочлена (5х5 + х3 + 1) на многочлен (х3 + 2) с частным (5х2 + 1) и остатком (– 10х2 – 1).
Указанные действия принято оформлять в виде схемы, которая называется «деление уголком». При этом, в записи делимого и последующих разностей желательно производить члены суммы по всем убывающим степеням аргумента без пропуска.
5х5 + 0х4 + х3 + 0х2 + 0х + 1 х3 + 2
5х5 +10х2 5х2 + 1
х3 –10х2 + 0х + 1
х3 + 2
–10х2 + 0х – 1
Мы видим, что деление многочленов сводится к последовательному повторению действий:
1) в начале алгоритма старший член делимого, в последующем, старший член очередной разности делится на старший член делителя;
2) результат деления дает очередное слагаемое в частном, на которое умножается делитель. Полученное произведение записывается под делимым или очередной разностью;
3) из верхнего многочлена вычитается нижний многочлен и, если степень полученной разности больше или равна степени делителя, то с нею повторяются действия 1, 2, 3.
Если же степень полученной разности меньше степени делителя, то деление завершено. При этом последняя разность является остатком.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Многочленом называется сумма одночленов... Одночлены из которых составлен многочлен называют членами многочлена Так... Если многочлен состоит из двух членов то его называют двучленом если из трех трехчленом Одночлен считают...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Деление многочленов
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов