Темы для текущего контроля

 

1. Некоторые динамические модели: уравнения гармонического осциллятора и математического маятника; уравнения, описывающие движение планеты в гравитационном поле Солнца. Проблема трех тел.

2. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка. Метод Эйлера.

3. Четырехточечный метод Рунге-Кутты. Точность и устойчивость численных методов решения ОДУ.

4. Задача о малых колебаниях механических систем. Итерационный метод Якоби нахождения собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы. Сходимость метода Якоби.

5. Критерии качества приближения функций (критерий, используемый в методе рядов Тейлора, критерий метода интерполяции, критерий метода наименьших квадратов, минимаксный критерий Чебышева, критерий приближения сплайнами).

6. Интерполяционный полином Лагранжа.

7. Интерполяционный полином Ньютона для равноотстоящих узлов.

8. Ошибки интерполяционных формул. Явление Рунге.

9. Полиномиальное приближение с помощью метода наименьших квадратов. Нормальная система уравнений. Трудности метода наименьших квадратов при стремлении к бесконечности числа наблюдений.

10. Метод наименьших квадратов в случае нелинейной зависимости аппроксимирующей функции от искомых неопределенных параметров. Многоэкстремальные задачи.

11. Простейшие формулы интегрирования (методы прямоугольников и трапеций). Метод Симпсона. Формулы Ньютона-Котеса. Составные и единые формулы интегрирования.

12. Метод аналитической замены для вывода квадратурных формул.

13. Метод моментов для вывода квадратурных формул.

14. Метод рядов Тейлора для вывода квадратурных формул.

15. Метод Филона интегрирования быстро осциллирующих функций.

16. Метод интегрирования Гаусса с плавающими узлами.

17. Вычисление несобственных интегралов.

18. Простейший метод прогноза и коррекции. Формулы прогноза. Переход от задачи Коши для ОДУ первого порядка к интегральному уравнению для вывода семейства формул коррекции.

19. Метод Милна. Стартовые методы.

20. Каноническая форма систем ОДУ первого порядка. Метод Эйлера, методы прогноза и коррекции и метод Рунге-Кутты для решения систем ОДУ первого порядка в канонической форме. Переход от ОДУ высших степеней к канонической форме уравнений первого порядка.

21. Формулы численного дифференцирования и их вывод методом неопределенных коэффициентов.

22. Дифференциальные уравнения второго порядка без первой производной и их роль в классической и квантовой физике. Метод Нумерова.

23. Метод стрельбы и простейший сеточный метод для решения линейной краевой задачи. Повышение точности сеточного метода за счет перехода к более точной аппроксимации второй производной. Регулярные и нерегулярные узлы сетки.

24. Простейшее уравнение теплопроводности. Выбор сетки и шаблона. Вывод разностной схемы и соответствующего ей порядка аппроксимации.

25. Явные и неявные схемы.

26. Понятие об априорном исследовании устойчивости и сходимости разностных схем.

27. Методы последовательного исключения неизвестных Гаусса и Жордана.

28. Применение метода Жордана к нахождению обратных матриц.

29. Метод Холецкого.

30. Метод простой итерации и метод Зейделя.

31. Методы бисекции, хорд, Ньютона. Метод простой итерации. Понятие о сложных итерациях.

32. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

33. Методы координатного и градиентного спуска. Овражные ситуации. Метод случайного спуска.

34. Общее понятие о задачах и методах математического программирования (линейное, выпуклое, параметрическое, целочисленное, динамическое программирование).

 

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение модуля «Численные методы и математическое моделирование»

а) Основная литература:

 

1. Н.Н. Калиткин. "Численные методы". - 1978.

2. Л.И. Турчак. "Основы численных методов". - 1987.

3. Р.В.Хемминг. "Численные методы". - 1968.

4. И.С. Березин, Н.П. Жидков. "Методы вычислений". - Т.1-1962, т.2- 1966.

5. А.А. Самарский, А.В. Гулин. "Численные методы". - 1989.

6. Е.В. Волков. "Численные методы". - 1987.

 

б) Дополнительная литература:

 

1. Г. М. Чечин. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в курсе «Компьютерные методы в современном естествознании». Электронный вариант учебно-методических указаний – 2009.

2. Ю.П. Попов, А.А. Самарский. "Вычислительный эксперимент". В сб. "Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент".Наука-1988.

3. Н.Н. Моисеев. "Математика ставит эксперимент". Москва-1980.

4. Х. Гулд, Я. Тобочник. "Компьютерное моделирование в физике".Т.1 и т.2. Мир-1990.

5. Ю.Ю. Тарасевич. "Математическое и компьютерное моделирование". УРСС. Москва-2001.

6. В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: «Факториал» -- 1997.

7. Г.М.Чечин. "Компьютерные методы в современном естествознании". Вып.1. "Дифференциальные уравнения в физике" (Часть 1). УПЛ РГУ -1998.

8. Г.М. Чечин, М.Ю. Зехцер. Собственные значения и собственные векторы матриц. Часть 1. Теоретические аспекты. УПЛ РГУ, 2006.

9. Г.М. Чечин, М.Ю. Зехцер. Собственные значения и собственные векторы матриц. Часть 2. Некоторые физические приложения, 2007 (электронный вариант).

10. Ю.П. Попов, А.А. Самарский. "Вычислительный эксперимент". В сб. "Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент".Наука-1988.

11. Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. "Машинные методы математических вычислений".-1980.

12. М.Э. Абрамян, А.В. Олифер. "Численные методы". - УПЛ РГУ - 1991.

13. С.С. Михалкович, О.А.Обрезанова, А.В.Олифер. "Численные методы". Вып.2. - УПЛ РГУ - 1995.

14. С.С. Михалкович, А.В. Олифер, АМ Столяр. "Численные методы". Вып. 3,4,5. - 2001.

15. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. "Численные методы".-1987.