Тема: ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема: «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

1. Научно-методическое обоснование темы:

Теория вероятностей изучает закономерности, проявляющиеся при изучении таких экспериментов, конкретный результат которых до их проведения невозможно с определенностью предсказать. Так, при однократном подбрасывании монеты нельзя заранее определить, выпадет герб или цифра. В то же время результаты многочисленных экспериментов показывают, что герб и цифра выпадают примерно в одинаковом количестве. Таким образом, несмотря на случайных характер результата каждого эксперимента, существуют некоторые закономерности для результатов множества аналогичных экспериментов.

Многие случайные события могут быть количественно оценены случайными величинами, которые принимают значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств.

В практической деятельности медицинский работник постоянно имеет дело с такими величинами (число больных на приеме у врача, температура тела больного, артериальное давление крови, дозировка лекарственного препарата и т.п.). Поэтому надо знать, как получены эти величины, какова их точность. Математической базой этих вопросов являются теория вероятностей и математическая статистика.

 

2. Краткая теория:

Вероятность случайного события

Случайным называется событие, наступление которого нельзя достоверно предвидеть. В одних и тех же доступных наблюдению условиях оно может… Совокупность условий, при которых наступает или не наступает данное случайное… Случайные события принято обозначать большими буквами латинского алфавита: A, B, C, D и т.д.

Виды случайных событий

1. Событие, которое при данном испытании произойдет обязательно, называется достоверным, его вероятность равна 1. Например, достоверным является событие, состоящее в извлечении наугад упаковки… 2. Событие, которое при данном испытании не может произойти, называется невозможным, его вероятность равна нулю.

Основные теоремы вероятностей

Р(А или В)=Р(А)+Р(В), (4)  

Повторные независимые испытания

Повторными независимыми испытаниями называют испытания, удовлетворяющие следующим условиям: 1) количество n испытаний конечно; 2) вероятность осуществления случайного события А в каждом из испытаний постоянна:

Дискретные случайные величины

Случайная величина называется дискретной, если совокупность всех ее возможных значений представляет собой конечное или бесконечное, но обязательно… Такие из перечисленных выше случайных величин, как количество очков,… Наиболее полную информацию о дискретной случайной величине дает закон распределения этой величины – это соответствие…

Непрерывные случайные величины

Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений представляет собой некоторый конечный или бесконечный промежуток… Например, непрерывными случайными величинами являются: температура больного в… Непрерывную случайную величину нельзя задать в виде таблицы ее закона распределения, поскольку невозможно перечислить…

Рис.1

 

Из определения функции распределения вытекают два важных следствия.

Следствие 1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

 

, (16)

 

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина в результате испытания примет определенное значение a, равна нулю:

, (17)

 

Пример 5. Найти вероятность попадания в интервал (1,2) значения непрерывной случайной величины, заданной функцией распределения:

 

 

Решение. В соответствии с формулой (15) получаем:

.

Для задания непрерывной случайной величины можно также использовать плотность распределения вероятностей.

Плотностью распределения вероятностей (плотностью вероятности) f (x) непрерывной случайной величины Х называется производная функции распределения F(x) этой величины:

f(x)=F'(x), (18)

Свойства плотности распределения вероятностей:

1. Плотность вероятности является неотрицательной функцией:

f(x)0, (19)

2. Вероятность того, что в результате испытания непрерывная случайная величина примет какие-либо значения из интервала (а; b), равна:

Р (а<X<b)=, (20)

3. Определенный интеграл в пределах от -∞ до +∞ от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице (условие нормировки):

, (21)

4. Определенный интеграл в пределах от -∞ до x от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен функции распределения этой величины:

, (22

Под основными числовыми характеристиками непрерывной случайной величины понимают, как и в случае дискретной случайной величины, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины:

 

М (Х)==, (23)

Дисперсиянепрерывной случайной величины:

D (Х) ==, (24)

Среднее квадратическое отклонение, как и для дискретной случайной величины, определяется формулой:

, (25)

 

 

Нормальный закон распределения

  , (26)  

Рис.2

 

Подставив выражение (25) для плотности вероятности нормально распределенной случайной величины в (19), получим вероятность того, что в результате испытания нормально распределенная случайная величина примет значение из интервала (a,b):

, (27)

 

Введем в рассмотрение функцию

 

, (28)

где .

Тогда формулу (26) можно преобразовать к виду, удобному для практического применения

 

, (29)

 

Функция Ф(u) является нечетной, т.е. Ф(-u) = -Ф(u); ее значения берутся из соответствующих таблиц.

Пример 6. Предполагая, что закон распределения случайной величины X, определяемой как масса таблетки некоторого препарата, наугад выбранной из некоторой партии таблеток, является нормальным с математическим ожиданием 0,50 г и средним квадратическим отклонением 0,10 г, найти вероятность того, что масса наугад выбранной таблетки окажется в пределах от 0,55 до 0,65 г.

Решение. Полагая в формуле (21) а=0,55; b=0,65; 0,50 и 0,10 получим:

 

По таблице находим, что ; и для искомой вероятности получаем

 

.

 

Пользуясь (28), найдем вероятность того, что значение нормально распределенной случайной величины не выходит за пределы интервала

 

 

Это значение близко к единице. Нормально распределенная случайная величина теоретически может принимать любые значения из интервала . Но на практике ее значения обычно не выходят за пределы интервала и имеет место правило трех сигм: отклонения значений нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине практически не превышают ее утроенного среднего квадратического отклонения.

3. Цель деятельности студентов на занятии:

Студент должен знать:

1.Понятие случайного события, виды случайных событий.

2.Определение вероятности случайного события.

3.Основные теоремы вероятностей.

4.Схему Бернулли.

5.Понятия дискретной и непрерывной случайных величин.

6.Способы задания случайной величины.

7.Основные числовые характеристики дискретной и непрерывной случайной величины.

8. Нормальный закон распределения. Правило трех сигм.

 

Студент должен уметь:

1.Применять основные теоремы вероятностей, формулы Бернулли и Пуассона.

2. Составлять закон распределения дискретной случайной величины.

3.Вычислять основные числовые характеристики случайной величины.

4.Находить вероятность попадания в заданный интервал значения непрерывной случайной величины, заданной функцией распределения.

5.Находить вероятность попадания значения нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.

 

4.Содержание обучения:

Теоретическая часть:

1.Виды случайных событий.

2.Классическое и статистическое определения вероятности случайного события.

3.Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий.

4. Независимые повторные испытания (схема Бернулли). Формула Бернулли. Формула Пуассона.

5.Понятие дискретной случайной величины. Основные числовые характеристики дискретной случайной величины и их свойства.

6.Понятие непрерывной случайной величины. Способы задания непрерывной случайной величины.

7.Функция распределения случайной непрерывной величины, ее свойства, график.

8.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины, ее основные свойства.

9.Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины. 10.Нормальный закон распределения. Кривая Гаусса.

11.Вероятность попадания значения нормально распределенной величины в заданный интервал. Правило трех сигм.

Практическая часть:

1. В некоторую больницу поступают пациенты с четырьмя видами болезней. Многолетние наблюдения показывают, что этим видам заболеваний соответствуют вероятности: 0,1; 0,4; 0,3; 0,2. Для лечения заболеваний с вероятностью 0,1 и 0,2 необходимо переливание крови. Какое количество больных необходимо обеспечить кровью, если в течении месяца поступило 1000 больных?

2.Вероятность заболевания гепатитом для жителей некоторой области в определенный период года составляет 0,0005. Оценить вероятность того, что из обследованных 10000 жителей 4 окажутся заболевшими.

3. Найдите вероятность того, что из четырех облигаций выиграет:

- только одна,

- по крайней мере одна.

Вероятность выигрыша отдельной облигации равно 0,1.

4. В ящике 10 деталей, среди которых 6 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся окрашенными.

5. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

6. Два равносильных соперника играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть одну партию из двух или две из четырех?

7. На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр. Какова вероятность сорвать в темноте цветную астру, если срывают одну астру?

8.Шесть человек больны заболеванием, для которого коэффициент выздоровления составляет 98%. Какова вероятность того, что:

а) выздоровеют все шестеро;

б) выздоровеют только пятеро?

9. В группе из 15 студентов 5 сдали коллоквиум по физике на «отлично» и 6- на «хорошо». Какова вероятность того, что наугад выбранный из этой группы студент сдал коллоквиум на «хорошо» или «отлично».

10. Принимая вероятность появления мальчика при рождении ребенка равной 0,5, найти вероятность того, что в семье с 6 детьми:

а) мальчиков нет;

б) 4 мальчика;

в) все дети – мальчики.

11.Среди семян ржи 0,4 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

12.Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия из отправленной партии.

13.Число студентов в каждой из 20 групп лечебного факультета составляет соответственно 12, 14, 11, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 10, 13, 14, 15, 16, 10, 15, 13, 14, 12, и 14 человек. Составить закон распределения случайной величины X, определяемой как число студентов в произвольно выбранной группе. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой величины.

14.Число фармацевтов в каждой из 20 аптек города составляет 3, 6,5,6,4,5,5,4,6,3,5,4,6,5,7,6,4,5,5, и 6 человек. Составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число фармацевтов в произвольно выбранной аптеке (из 20 аптек). Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой величины.

15. Найти дисперсию дискретной случайной величины X, определяемой как число появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,2.

16. Построить закон распределения числа попаданий мячом в корзину при трех бросках, если вероятность попадания равна 0,4.

17. Найти вероятность попадания в интервал (1,3) значения непрерывной случайной величины, заданной функцией распределения:

 

 

18.Предполагая, что pH крови человека подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием μ=7,2 и средним квадратическим отклонением σ=0,2, найти вероятность того, что у произвольно выбранного человека уровень pH находится между 7,1 и 7,2.

19.Предполагая закон распределения роста студентов нормальным с математическим ожиданием μ=175 см и дисперсией σ²=100 см², найти вероятность того, что рост произвольно выбранного студента окажется в пределах от 180 до 190 см.

20.Масса взрослого животного некоторого вида является нормально распределенной случайной величиной со средним значением (математическим ожиданием) 100 кг и средним квадратическим отклонением 5 кг. Найти вероятность того, что масса животного находится в интервале:

а) от 95 до 105 кг,

б) от 97 до 112 кг.

5. Перечень вопросов для проверки исходного уровня знаний:

1. Что называется случайным событием?

2. Приведите определения и примеры различных видов случайных событий (достоверные, невозможные, совместные, несовместные и т.д.).

3. Что является основной характеристикой случайного события?

4.Дайте классическое и статистическое определения вероятности случайного события.

5. Что называется схемой Бернулли? Приведите формулы Бернулли и Пуассона.

6. Дайте определение случайной величины.

7. Дайте определение дискретной случайной величины. Приведите примеры.

8.Запишите формулы основных числовых характеристик дискретной случайной величины.

9. Дайте определение непрерывной случайной величины.

10.Что называется плотностью вероятностей непрерывной случайной величины? Как она связана с функцией распределения?

11. Запишите формулы для основных числовых характеристик непрерывной случайной величины.

12. Запишите формулу нормального распределения.

 

6. Перечень вопросов для проверки конечного уровня знаний:

1.При каком подходе к определению вероятности случайного события (классическом или статистическом) требуется проведение реальных испытаний? Почему?

2.Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий.

3. В чем состоит закон «редких испытаний»?

4.Приведите свойства основных числовых характеристик дискретной случайной величины.

5. В чем состоит удобство среднего квадратического отклонения?

6.Почему непрерывную случайную величину невозможно задать в виде таблицы ее закона распределения и с помощью формулы?

7.Приведите свойства функции распределения и плотности вероятности непрерывной случайной величины.

8.Приведите и охарактеризуйте кривую Гаусса.

9.Сформулируйте правило трех сигм.

 

7. Хронокарта учебного занятия:

1. Организационный момент – 5 мин.

2. Разбор темы – 30 мин.

3.Решение ситуационных задач-60 мин.

4. Текущий контроль знаний - 35 мин.

5. Подведение итогов занятия – 5 мин.

 

8. Перечень учебной литературы к занятию:

1. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики. М., «Медицина», 2004., §§ 8.1., 8.2.

2. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики. М.,»ГЭОТАР-Медиа», 2006, §§ 7.1., 7.2.

3.Ремизов А.Н., Максина А.Г., Потапенко А.Я. Медицинская и биологическая физика, М., «Дрофа», 2008, §§2.1.-2.3.