Показатели вариации

Исследование вариации в статистике и социально - экономических исследованиях имеет важное значение, так как величина вариации признака статистической совокупности характеризует её однородность.

В статистической практике для изучения и измерения вариации используются различные показатели (меры) вариации в зависимости от поставленных перед исследователем задач. К ним относится размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Способы вычисления показателей вариации. Размах вариации (R) является наиболее простым измерителем вариации признака.

, (13)

где - наибольшее значение варьирующего признака;

- наименьшее значение признака.

Среднее линейное отклонение () представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от средней. Его можно рассчитать по формуле средней арифметической, как невзвешенной, так и взвешенной, в зависимости от отсутствия или частот в ряду распределения:

- невзвешенное среднее линейное отклонение;

- взвешенное средние линейное отклонение.

Символы , , и n имеют то же значение, что и в предыдущих параграфах. Рассмотренные выше показатели имеют те же размерность, что и признак, для которого они вычисляются.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины (обозначается греческой буквой - «сигма квадрат»).

Дисперсия вычисляется по формулам простой и не взвешенной и взвешенной:

- не взвешенная;

- взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней:

- не взвешенное;

- взвешенное.

Среднее квадратическое отклонение – величина именованная, имеет размерность усредняемого признака.

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха, или среднего линейного отклонения, или среднего квадратического отклонения к средней арифметической. Чаще всего они выражаются в процентах и характеризуют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

Различают следующие относительные показатели вариации (V):

Коэффициент осцилляции: ,

Линейный коэффициент вариации

Коэффициент вариации:.

Наиболее часто в практических расчётах из этих трёх показателей применяется коэффициент вариации.

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяются совокупности, а так же и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии.

Правило сложения дисперсий. Если данные представлены в виде аналитической группировки, то можно вычислить дисперсию общую, межгрупповую и внутригрупповую.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию:

, (14)

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е., различия в величине изучаемого признака - фактора положенного в основании группировки.

Она рассчитывается по формуле:

(15)

где и - соответственно средние и численности по отдельным группам.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака фактора, положенного в основание группировки.

Она исчисляется следующим образом:

(16)

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

, (17)

Существует закон, связывающий три вида дисперсии. Общая дисперсия равна сумме из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

, (18)

Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому правилу общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счёт группировочного признака.

Зная любые виды дисперсий, можно определить или проверить правильность расчёта третьего вида.

На основании правила сложения дисперсий можно определить показатель тесноты связи между группировочным (факторным) и результативным признаками. Она называется эмпирическим корреляционным отношением, обозначается («эта») и рассчитывается по формуле:

(19)