рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Линейная алгебра

Линейная алгебра - раздел Математика, Линейная Алгебра. ...

Линейная алгебра.

Понятия матрицы, ее порядка. Квадратная, прямоугольная, треугольная, единичная матрицы.

А-обозначение матрицы aij – эл-т матрицы, стоящий на пересечении i–той строки и j–того столбца. Матрица наз-тся прямоуг-ой, если число строк не равно числу столбцов. Прямоуг-ая матрица имеет порядок m*n

Oпределители 2го и 3го порядка.Правило треугольников.Определитель треугольной матрицы.

  Пример:

Перечислить все свойства определителей.

2)перестановка местами2х строк равносильна умножению всего на (-1) 3)если содержит 2 одинаковые строки или две пропорциональные строки, то он…

Обратная матрица. Теоремы о существовании и единственности. Алгоритм получения обратной матрицы.

Обратной к квадратной матрице Ап называется матрица Ап-1, которая при умножении на исходную, как справа, так и слева, даёт единичную матрицу. Порядок:

Понятие ранга матрицы. Элементарные преобразования. Ранг матрицы трапецевидной формы.

Элементарные преобразования: 1)транспортирование 2)отбрасывание нулевых строк(столбцов)

Система линейных уравнений, ее решение. Системы однородные,неоднородные,совместные,несовмнстные,определенные,неопределенные.

  - неизвестные переменные, - коэффициенты (некоторые действительные или… Такую форму записи СЛАУ называют координатной.

Сформулировать теорему Кронекера-Капелли и теорему о числе решений системы, правило Крамера для системы трех линейных уравнений с 3мя неизвестными.

· Система определена если ранг системы равен числу неизвестных, т.е. r=n · Система не определена если rn Согласно правилу Крамера для решения системы необходимо выполнить следующие действия:

Решение системы трех линейных уравнений методом Крамера

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

По формулам Крамера получаем

Метод Гаусса.Выбор базисных и свободных переменных.Общее и частное решение

Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены и свободные…   Частным решением системы уравнений называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных…

Модифицированные Жардановые исключения.5 правил одного шага.

Составим расширенную матрицу указав сверху над столбиками переменные -х1 …..-хn Слева от матрицы возле каждой строки напишем ноль. (карт. Тел.)

Векторная алгебра

Понятие вектора,его длины,орта,равных векторов,коллинеарных векторов.

Длиной вектора считается расстояние от его начала до конца.т.е. длина самого отрезка. Орта- единичный вектор Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой ил на параллельных прямых.

Линейные операции над векторами.Линейная комбинация векторов.Линейно зависимые и линейно независимые вектора.

Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа. Суммой a + b двух векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a. Правило сложения двух векторов, содержащееся в этом определении, называется правилом треугольника. Правило сложения векторов обладает теми же самыми свойствами, что и правило сложения вещественных (или рациональных) чисел: 1. a + b = b + a (переместительное свойство); 2. (a + b) + c= a + (b + c) (сочетательное свойство); 3. существует нулевой вектор 0 такой, что a + 0 = a для любого вектора a (особая роль нулевого вектора); 4. для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a такой, что a+ a 0 = 0. Из свойства 1. следует еще одно правило сложения векторов, называемое пра- вилом параллелограмма: если векторы a и b приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма a +b (или b+a) этих векторов пред- ставляет собой диагональ параллелограмма, идущую из общего начала векторов a и b   Определение. Разностью a - b вектора a и вектора b называется такой вектор c, который в сумме с вектором b дает вектор a.   Произведением αa (или aα) вектора a на вещественное число α называется вектор b, коллинеарный вектору a, имеющий длину, равную |α|·|a| , и имеющий направление, совпадающее с направле- нием вектора a в случае α > 0 и противоположное направлению вектора a в случае α < 0.   Линейная комбинация векторов - это сумма ввсех векторов, соединенных их концами друг друга.     Для того чтобы векторы x1,x2…xr (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.   Ненулевые векторы называются линейно зависимыми, если нетривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору     Ненулевые векторы называются линейно независимыми, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору.   Так что α1=α2= …=αn   Справедливы следующие утверждения: Теорема 9.1. Один вектор линейно зависим тогда и только тогда, когда он нулевой. Теорема 9.2. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Теорема 9.3. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.     3.Прямоугольная декартова система координат в пространстве. Координаты вектора. Теорема о расхождении вектора по базису в пространстве.  
Декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям.Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует ее широкому применению.   Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трехмерное пространство, о более многомерных пространствах — см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX,OY,OZ Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей. OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z.

Координата x называется абсциссой точки A,

координата y — ординатой точки A,

координата z — аппликатой точки A

Символически это записывают так:A(X,Y,Z)

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

XA,YA ZA

ТЕОРЕМА Пусть дано произвольное векторное пространство. Говорят, что

Множество (возможно, бесконечное) векторов линейно независимо,

Если никакая нетривиальная линейная комбинация конечного числа

Векторов из этого множества не равна нулю. (Заметим в скобках, что

Говорить о бесконечных линейных комбинациях в принципе можно

Лишь если в пространстве определена сходимость, чего мы сейчас

Не предполагаем.) Линейно независимое множество векторов назы-

Вается базисом Гамеля (или просто базисом) данного пространства,

Если любой вектор представим в виде конечной линейной комбина-

Ции элементов этого множества.

Как и в конечной ситуации, максимальное линейно независимое

Множество (которое становится линейно зависимым при добавлении

Любого нового элемента) является, очевидно, базисом.

Теорема 26. Всякое линейно независимое множество векторов мо-

Жет быть расширено до базиса Гамеля.

✁ Пусть S — линейно независимое подмножество векторного про-

Странства V . Рассмотрим вполне упорядоченное множество I доста-

Точно большой мощности (большей, чем мощность пространства V ).

Определим функцию f из I в V с помощью трансфинитной рекур-

сии:

f(i) = элемент пространства V , не выражающийся линейно через

элементы S и значения f(j) при j < i.

Заметим, что это рекурсивное правило оставляет f(i) неопределён-

Ным, если такого невыразимого элемента не существует. (Кроме того,

Можно отметить, что мы снова используем аксиому выбора. Более

подробно следовало бы сказать так: по аксиоме выбора существует

Некоторая функция, которая по каждому подмножеству простран-

ства V , через которое не всё V выражается, указывает один из невы-

Разимых элементов. Затем эта функция используется в рекурсивном

Определении. Впрочем, аксиома выбора и так уже использована для

Доказательства теоремы Цермело.)

Определение. Пусть – произвольный вектор, – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство называется разложением вектора по базису

 

Длина вектора через координаты,расстояние между точками, координаты вектора через координаты точек начала и конца,координаты середины отрезка,линейные операции между векторами в координатной форме.

Координаты вектора ABвычисляются следующим образом: из соответствующих координат конца вектора вычитаются соответствующие координаты начала вектора.

координаты середины отрезка AB. Для этого есть простая формула:

x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2, z=(z1+z2)/2

длина отрезка AB,расположенного в пространстве будет выглядеть так:

 

 

Расстояние между точками А и В равно: xB-xA

Равенство векторов и линейные операции (сложение векторов и умножение вектора на число) удобно представлять в координатной форме. При этом справедливы следующие свойства.

 

1. Равные векторы имеют равные координаты (в одном и том же базисе).

2. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению этого числа на соответствующую координату вектора.

4. Каждая координата линейной комбинации векторов равна линейной комбинации соответствующих координат векторов.

 

Докажем, например, последнее свойство. Проекция линейной комбинации векторов на прямую, содержащую базисный вектор , равна линейной комбинации проекций векторов (составляющих линейную комбинацию) на эту прямую. Поэтому абсцисса линейной комбинации векторов равна линейной комбинации абсцисс этих векторов. Аналогичное рассуждение справедливо для ординат и аппликат.

 

 

Скалярное произведение векторов.Перечислить свойства.

Скалярным произведением векторов а и b называется произведение их длин на косинус угла между ними: (a,b)=|a|*|b|*cos (a,b) · a2 =(a,a) причем a2=0 =>a=0

Векторное произведение векторов.Геометрический смысл.Пересичлить свойства

Векторным произведением вектора a на вектор b называется третий вектор c который обладает следующими свойствами: 1. Его длина равна ab*sinα 2. Вектор c перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора a и b

– Конец работы –

Используемые теги: ная, Алгебра0.057

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейная алгебра

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
З И Андреева... ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА...

Линейная алгебра
Действия над матрицами... Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица элементов чисел... В записи элемента аij первый индекс i определяет номер строки а второй индекс j номер столбца на пересечении которых находится данный элемент...

Б 2. Б.2. Линейная алгебра
Кафедра математики... Б Б Линейная алгебра Направление подготовки специальность...

Линейная алгебра
Государственное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ...

Рабочая программа дисциплины Линейная алгебра
КАЛИНИНГРАДСКИЙ ФИЛИАЛ... факультет ЭКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ...

И естественнонаучных дисциплин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт Петербургский государственный... Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения...

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт Петербургский государственный... Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения...

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Алгебра матриц... На множестве матриц определены операции сложения умножения на число... Складывать можно прямоугольные матрицы одного и того же порядка Сложение выполняется поэлементно...

Линейная и векторная алгебра
ЛУГАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Л И Леви Е А Рыбинцева...

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Алгебра матриц... На множестве матриц определены операции сложения умножения на число... Складывать можно прямоугольные матрицы одного и того же порядка Сложение выполняется поэлементно...

0.052
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам