Реферат Курсовая Конспект
Линейная алгебра - раздел Математика, Линейная Алгебра. ...
|
Линейная алгебра.
Решение системы трех линейных уравнений методом Крамера
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
По формулам Крамера получаем
Векторная алгебра
Линейные операции над векторами.Линейная комбинация векторов.Линейно зависимые и линейно независимые вектора.
Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа. Суммой a + b двух векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a. Правило сложения двух векторов, содержащееся в этом определении, называется правилом треугольника. Правило сложения векторов обладает теми же самыми свойствами, что и правило сложения вещественных (или рациональных) чисел: 1. a + b = b + a (переместительное свойство); 2. (a + b) + c= a + (b + c) (сочетательное свойство); 3. существует нулевой вектор 0 такой, что a + 0 = a для любого вектора a (особая роль нулевого вектора); 4. для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a такой, что a+ a 0 = 0. Из свойства 1. следует еще одно правило сложения векторов, называемое пра- вилом параллелограмма: если векторы a и b приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма a +b (или b+a) этих векторов пред- ставляет собой диагональ параллелограмма, идущую из общего начала векторов a и b Определение. Разностью a - b вектора a и вектора b называется такой вектор c, который в сумме с вектором b дает вектор a. Произведением αa (или aα) вектора a на вещественное число α называется вектор b, коллинеарный вектору a, имеющий длину, равную |α|·|a| , и имеющий направление, совпадающее с направле- нием вектора a в случае α > 0 и противоположное направлению вектора a в случае α < 0. Линейная комбинация векторов - это сумма ввсех векторов, соединенных их концами друг друга. Для того чтобы векторы x1,x2…xr (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных. Ненулевые векторы называются линейно зависимыми, если нетривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору Ненулевые векторы называются линейно независимыми, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору. Так что α1=α2= …=αn Справедливы следующие утверждения: Теорема 9.1. Один вектор линейно зависим тогда и только тогда, когда он нулевой. Теорема 9.2. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Теорема 9.3. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. 3.Прямоугольная декартова система координат в пространстве. Координаты вектора. Теорема о расхождении вектора по базису в пространстве. |
Декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям.Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует ее широкому применению. Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трехмерное пространство, о более многомерных пространствах — см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX,OY,OZ Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей. OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат. |
Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z.
Координата x называется абсциссой точки A,
координата y — ординатой точки A,
координата z — аппликатой точки A
Символически это записывают так:A(X,Y,Z)
или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:
XA,YA ZA
ТЕОРЕМА Пусть дано произвольное векторное пространство. Говорят, что
Множество (возможно, бесконечное) векторов линейно независимо,
Если никакая нетривиальная линейная комбинация конечного числа
Векторов из этого множества не равна нулю. (Заметим в скобках, что
Говорить о бесконечных линейных комбинациях в принципе можно
Лишь если в пространстве определена сходимость, чего мы сейчас
Не предполагаем.) Линейно независимое множество векторов назы-
Вается базисом Гамеля (или просто базисом) данного пространства,
Если любой вектор представим в виде конечной линейной комбина-
Ции элементов этого множества.
Как и в конечной ситуации, максимальное линейно независимое
Множество (которое становится линейно зависимым при добавлении
Любого нового элемента) является, очевидно, базисом.
Теорема 26. Всякое линейно независимое множество векторов мо-
Жет быть расширено до базиса Гамеля.
✁ Пусть S — линейно независимое подмножество векторного про-
Странства V . Рассмотрим вполне упорядоченное множество I доста-
Точно большой мощности (большей, чем мощность пространства V ).
Определим функцию f из I в V с помощью трансфинитной рекур-
сии:
f(i) = элемент пространства V , не выражающийся линейно через
элементы S и значения f(j) при j < i.
Заметим, что это рекурсивное правило оставляет f(i) неопределён-
Ным, если такого невыразимого элемента не существует. (Кроме того,
Можно отметить, что мы снова используем аксиому выбора. Более
подробно следовало бы сказать так: по аксиоме выбора существует
Некоторая функция, которая по каждому подмножеству простран-
ства V , через которое не всё V выражается, указывает один из невы-
Разимых элементов. Затем эта функция используется в рекурсивном
Определении. Впрочем, аксиома выбора и так уже использована для
Доказательства теоремы Цермело.)
Определение. Пусть – произвольный вектор, – произвольная система векторов. Если выполняется равенство
то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство называется разложением вектора по базису
Длина вектора через координаты,расстояние между точками, координаты вектора через координаты точек начала и конца,координаты середины отрезка,линейные операции между векторами в координатной форме.
Координаты вектора ABвычисляются следующим образом: из соответствующих координат конца вектора вычитаются соответствующие координаты начала вектора.
координаты середины отрезка AB. Для этого есть простая формула:
x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2, z=(z1+z2)/2
длина отрезка AB,расположенного в пространстве будет выглядеть так:
Расстояние между точками А и В равно: xB-xA
Равенство векторов и линейные операции (сложение векторов и умножение вектора на число) удобно представлять в координатной форме. При этом справедливы следующие свойства.
1. Равные векторы имеют равные координаты (в одном и том же базисе).
2. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых.
3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению этого числа на соответствующую координату вектора.
4. Каждая координата линейной комбинации векторов равна линейной комбинации соответствующих координат векторов.
Докажем, например, последнее свойство. Проекция линейной комбинации векторов на прямую, содержащую базисный вектор , равна линейной комбинации проекций векторов (составляющих линейную комбинацию) на эту прямую. Поэтому абсцисса линейной комбинации векторов равна линейной комбинации абсцисс этих векторов. Аналогичное рассуждение справедливо для ординат и аппликат.
– Конец работы –
Используемые теги: ная, Алгебра0.057
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейная алгебра
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов