Линейная алгебра и ФНП

Линейная алгебра и ФНП

 

▼ Основная и дополнительная литература

 

Основная литература

1. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 336 с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. IV).

2. Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Дифференциальное исчисление функций многих переменных: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. – 456 с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. V).

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2005.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 416 с.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т. 2. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Дрофа, 2003. – 512 с.

 

Дополнительная литература

1. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефремова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1993. – 478 с

2. Сборник задач по линейной алгебре / Под ред. С.К. Соболева. – М.: МГТУ, 1991. –154 с.

3. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред. Б.П. Демидовича. –

М.: Интеграл-Пресс, 1997. – 416 с.

4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1984. – 319 с.

5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 2. – М.: Высш. шк., 1981. – 584 с.

6. Сборник задач по линейной алгебре / Под ред. С.К. Соболева. – М.: МГТУ, 1991. –154 с.

7. Вся высшая математика: Учебник для втузов: В 6 т. /

КрасновМ.Л., Киселев А.И., Макаренко и др. – Т. 1. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 327 с.

8. Вся высшая математика: Учебник для втузов: В 6 т. / Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко и др. – Т. 2. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 184 с.

9. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Под ред. Д.В. Беклемишева. – М.: Наука, 1987. – 496

 

Методические пособия, изданные в МГТУ (МП)

1. Феоктистов В.В., Сидняев Н.И. Линейные и евклидовы пространства. Методические указания к выполнению домашнего задания. – М.: МГТУ, 2008. – 71 с.

2. Крищенко А.П. Линейные пространства. Линейные операторы: Учеб. пособие. – М.: МГТУ, 1988. – 49 с.

3. Ильичев А.Т., Крапоткин В.Г., Савин А.С. Линейные операторы. Методические указания к выполнению типового расчета. – М.: МГТУ, 2003. – 36 с.

4. Пугачев О.В., Стась Г.П, Чередниченко А.В. Квадратичные формы и их геометрические приложения. Методические указания к выполнению типового расчета. – М.: МГТУ, 2004. – 59 с.

5. Гришина Г.В., Демин А.И., Михайлова О.В. Функции многих переменных. Методические указания к выполнению домашнего задания. – М.: МГТУ, 2003. – 44 с.

6. Богомолов В.Г., Матвеев М.В., Филиновский А.В. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. – М.: МГТУ, 1993. – 52 с.

7. Богомолов В.Г., Матвеев М.В., Филиновский А.В. Прикладные задачи дифференциального исчисления функций нескольких переменных. – М.: МГТУ, 1993. – 56 с.

8. Дерябина Г.С., Чуев В.Ю. Вектор-функция нескольких переменных. – М: МГТУ, 2002, – 26 с.

 

Лекции

Модуль 1. Линейная алгебра.

Лекция 1.

ОЛ-1: гл. 1, п. 1.1-1.8; ОЛ-3: гл. 2, п. 1, 2, 4.

Лекции 2-3.

ОЛ-1: гл. 2, п. 2.1, 2.4-2.6, гл.3, п. 3.1-3.8; ОЛ-3: гл. 4, п. 1, 2.

Лекция 3.

Линейные операторы и их матрицы, определения и примеры. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису, инвариантность ее определителя. Подобные матрицы. Действия над линейными операторами. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

ОЛ-1: гл. 4, п. 4.1-4.5; ОЛ-3: гл. 5, п. 1, 2.

Лекция 4.

ОЛ-1: гл. 5, п. 5.1-5.5, гл. 6, п. 6.1-6.2; ОЛ-3: гл. 5, п. 3.

Лекция 5.

ОЛ-1: гл. 6, п. 6.3; ОЛ-3: гл. 5.

Лекция 6.

ОЛ-1: гл. 8, п. 8.1-8.3; ОЛ-3: гл. 5, п. 6. Лекции 7-8. (4 часа) Квадратичные формы канонического вида. Метод Лагранжа. Закон инерции квадратичных форм. Приведение квадратичной формы…

Лекция 9.

Основные определения: метрика, открытые, замкнутые, ограниченные, компактные, связные множества, область, граница множества, линии уровня, поверхности уровня. Предел функции нескольких переменных (ФНП). Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП.

ОЛ-2: гл. 1, п. 1.1-1.7; ОЛ-4: гл. 8, п. 1-4; ОЛ-5: гл. 8, п. 1-3, 11, 12.

Лекция 10.

ОЛ-2: гл. 2, п. 2.1-2.6, гл. 3, п. 3.1-3.2; ОЛ-4: гл. 8, п. 5,6; ОЛ-5: гл. 8, п. 4,5.

Лекции 11.

ОЛ-2: гл. 2, п. 2.7, гл. 3, п. 3.5, гл. 4, п. 4.1-4.3; ОЛ-4: гл. 8, п. 7-11; ОЛ-5: гл. 8, п. 6-9, 15.  

Лекции 12-13.

Градиент, производная ФНП по направлению и их свойства. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, условия их существования, вывод уравнений. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Формула Тейлора для ФНП (без д-ва).

ОЛ-2: гл. 5, п. 5.1-5.4, гл. 3, п. 3,4; ОЛ-4: гл. 8, п. 14, 15, 16, 17; ОЛ-5: гл. 8, п. 7, 8, 13-16.

 

Лекции 14-15.

ОЛ-2: гл. 6, п. 6.1-6.4, гл. 7, п. 7.1-7.4; ОЛ-4: гл. 8, п. 18; ОЛ-5: гл. 8, п. 19.

Лекции 16-17.

ОЛ-2: гл. 1, п. 1.2-1.4, гл. 2, п. 2.3, 2.6, 2.7; ДЛ-5: гл. 5, п. 41.4-41.7.   ▼ Упражнения

Занятие 1.

Линейное пространство. Линейная зависимость векторов. Базис и размерность пространства. Переход к новому базису.

Ауд.: ДЛ-1: гл. 4, 4.1-4.9 (неч), 4.15, 4.17, 4.21, 4.24, 4.28, 4.30, 4.37 или ДЛ-2: гл.3: 7-17 (неч), 21-25 (неч), 29-33 (неч), 40, 53-57 (неч), 63.

Дом: ДЛ-1: гл. 4, 4.2-4.10 (чет), 4.16, 4.18, 4.19, 4.25, 4.31 или ДЛ-2: гл.3: 8-14 (чет), 22-26 (чет), 30-34 (чет), 42, 54-58 (чет), 64.

Занятие 2.

Ранг системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Подпространство линейного пространства.

Ауд.: ДЛ-1: гл. 4, 4.45-4.53 (неч) или ДЛ-2: гл.3: 73-77 (неч), 87-91 (неч), 95-99 (неч).

Дом: ДЛ-1: гл. 4, 4.46, 4.48, 4.52, 4.54 или ДЛ-2: гл.3: 74-78 (чет), 88-92 (чет), 96-100 (чет), гл. 4: 6-12 (чет), 32, 38.

Занятие 3.

Евклидовы пространства. Процесс ортогонализации Грама –Шмидта.

Ауд.: ДЛ-1: гл. 4, 4.63(a), 4.64(a), 4.65(a,б), 4.67-76 (неч) или ДЛ-2: гл.4: 5-12 (неч), 17-24 (неч), 31, 37, 39, 47, 49, 53, 57, 59.

Дом: ДЛ-1: гл. 4, 4.63(б), 4.64(б), 4.65(в), 4.67-76 (чет) или ДЛ-2: гл. 4: 5-12 (чет), 17-24 (чет), 32, 38, 48, 50, 54, 58, 60.

Занятие 4.

Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Действия над линейными операторами.

Ауд.: ДЛ-1: гл. 4, 4.83-99 (неч), 4.103, 4.106(б), 4.107, 4.110, 4.113 или ДЛ-2: гл.5: 1, 5, 7, 21, 23, 25, 32 (а), 33 (а), 44, 45 (а), 47, 49, 51 (а,б), 71.

Дом: ДЛ-1: гл. 4, 4.84, 4.86, 4.90-100 (чет), 4.102, 4.104, 4.108, 4.110 (б), 4.118 или ДЛ-2: гл. 5: 5-12 (чет), 17-24 (чет), 32(б), 33 (б), 43, 45 (б), 48, 51 (в,г), 72.

Занятие 5.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Диагонализация симметричных матриц ортогональным преобразованием.

Ауд.: ДЛ-1: гл. 4, 4.129, 4.131, 4.135-4.143 (неч), 4.174, 4.183, 4.191 или ДЛ-2: гл. 5:

Дом: ДЛ-1: гл. 4, 4.84, 4.86, 4.90-100 (чет), 4.102, 4.104, 4.108, 4.110 (б), 4.118 или ДЛ-2: гл. 5: 5-12 (чет), 17-24 (чет), 32(б), 33 (б), 43, 45 (б), 48, 51 (в,г), 72.

Занятие 6.

Квадратичные формы, критерий Сильвестра. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.

Ауд.: ДЛ-1: гл. 4: 4.218-4.225 (чет) или ДЛ-2: гл. 6: 13, 15, 43, 45.

Дом: ДЛ-1: гл. 4: 4.218-4.233 (неч) или ДЛ-2: гл. 6: 14, 16, 44, 46.

Занятие 7-8.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и ортогональным преобразованием. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду.

Ауд.: ДЛ-1: гл. 4: 4.210, 4.211, 4.213, 4.215, 4.226, 4.228, 4.231 или ДЛ-2: гл. 6: 19, 21, 23 (б), 29, 31, 35, 47, 49, 55.

Дом: ДЛ-1: гл. 4: 4.212, 4.214, 4.216, 4.227, 4.229, 4.230 или ДЛ-2: гл. 6: 20, 22, 23 (а), 30, 32, 36, 48, 50, 56.

Занятие 9.

Аттестационная работа № 1.

 

Модуль 2. Функции нескольких переменных

Занятие 10.

Область определения ФНП. Линии уровня и поверхности уровня. Предел и непрерывность ФНП.

Ауд.: ДЛ-3: 1792 (в), 1793 (г), 1794 (в), 1795 (а), 1796 (в), 1797 (б,в), 1788 (в) или ДЛ-1: гл. 7: 7.6, 7.8, 7.10, 7.19, 7.21 (построить линии и поверхности уровня), 7.32, 7.35, 7.44, 7.46, 7.50, 7.55.

Дом: ДЛ-3: 1792 (е,и), 1793 (б,в), 1794 (г,ж), 1796 (а,б), 1797 (г,е), 1799 (б) или ДЛ-1: гл. 7: 7.7, 7,9, 7.13, 7.20 (построить линии и поверхности уровня), 7.33, 7.34, 7.45, 7.47, 7.51.

Занятие 11.

Частные производные 1-го порядка ФНП. Частные производные высших порядков ФНП. Дифференциал первого и второго порядка ФНП.

Ауд.: ДЛ-3: 1801-1825 (неч), 1834, 1838, 1844, 1892, 1894, 1897, 1917, 1924 или ДЛ-1: гл. 7: 7.57, 7.60, 7.61, 7.63, 7.66, 7.87, 7.89, 7.91, 7.103, 7.105.

Дом: ДЛ-3: 1801-1825 (чет), 1838, 1840, 1845, 1891, 1893, 1898, 1916, 1925 или ДЛ-1: гл. 7: 7.56, 7.58, 7.59, 7.62, 7.64, 7.67, 7.88, 7.90, 7.92, 7.102, 7.107.

Занятие 12-14.

Производная сложной и неявной ФНП. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Ауд.: ДЛ-3: 1856, 1861, 1864, 1865, 1870, 1876, 1878, 1982 (а), 1986, 1889, 1944, 1946, 1948, 1950, 1955, 1981 (а), 1982, 1985, 1986 или ДЛ-1: гл. 7: 7.114, 7.119, 7.121, 7.129, 7.135, 7.141, 7.145, 7.149, 7.152, 7.229 (а), 7.232, 7.233 (а), 7.234, 7.239 (а).

Дом: ДЛ-3: 1857, 1862, 1863, 1871, 1877, 1879, 1882 (б), 1883, 1888, 1943, 1947, 1949, 1956, 1981 (б), 1984, 1987, 1990 или ДЛ-1: гл. 7: 7.116, 7.118, 7.123, 7.130, 7.136, 7.140, 7.146, 7.150, 7.151, 7.229 (б), 7.233 (б,в), 7.235, 7.239 (б).

Занятие 15-16.

Локальный экстремум. Условный экстремум.

Ауд.: ДЛ-3: 2008, 2010, 2012, 2016, 2016.1, 2021-2024, 2031 или ДЛ-1: гл. 7: 7.187-7.195 (неч), 7.201, 7.205, 7.214.

Дом: ДЛ-3: 2009, 2011, 2014, 2016.2, 2023, 2024, 2033 или ДЛ-1: гл. 7: 7.187-195 (чет), 7.202-204, 7.210-213.

Занятие 17.

Аттестационная работа № 2.

 

▼ Контрольные мероприятия и самостоятельная подготовка

 

Модуль 1. Линейная алгебра.

Домашнее задание №1 (часть 1).

За 100% выполнение домашнего задания (часть 1) начисляется 5 баллов. Если задание выполнено качественно и в срок, то начисляется дополнительно 1 балл, зачетный минимум за домашнее задание - 3 балла.

Сроки выполнения домашнего задания №1(часть 1): выдача — 1-я неделя; прием — 4-я неделя. Рекомендуемые методические пособия: ОЛ-1, ОЛ-3, МП-1..

Типовое домашнее задание №1 (часть 1) «Линейные и евклидовы пространства»

1. (1 балл) Исследуйте на линейную зависимость систему векторов , ,.

2. (2 балла) Рассматривая векторы как новый базис в , вычислите

а) координаты вектора в исходном базисе, зная его координаты в новом базисе ;

б) координаты вектора в новом базисе, зная его координаты в исходном базисе .

3. (2 балла) Даны координаты векторов в некотором ортонормированном базисе:

, ,.

Применяя процесс ортогонализации, ортонормируйте эту систему векторов.

Домашнее задание №1 (часть 2).

За 100% выполнение домашнего задания №1 (часть 2) начисляется 10 баллов. Если задание выполнено качественно и в срок, то начисляется дополнительно 2 балла, зачетный минимум за домашнее задание - 6 баллов.

Сроки выполнения домашнего задания №1 (часть 2): выдача — 1-я неделя; прием — 8-я неделя.

Рекомендуемые методические пособия: ОЛ-1, ОЛ-3, МП-3, МП-4.

Типовое домашнее задание №1 (часть 2) «Линейные операторы и квадратичные формы»

4. (2 балла) Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей .

5. (2 балла) Приведите матрицу к диагональному виду и укажите матрицу перехода.

6. (2 балла) Приведите квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.

7. (2 балла) Приведите квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.

8. (2 балла) Найдите канонический вид квадратичной формы и постройте на плоскости линию, определяемую заданным уравнением.

Модуль 2. Функции нескольких переменных

Домашнее задание №2.

За 100% выполнение домашнего задания (задачи 1-5) начисляется 12 баллов. Если задание выполнено качественно и в срок, то начисляется дополнительно 3 балла, зачетный минимум за задачи 1-5 - 8 баллов. Выдача задания — 9-я неделя; прием — 14-15 неделя.

За 100% выполнение домашнего задания (задача 6) начисляется 3 балла, зачетный минимум за задачу 6 - 2 балла. Выдача задания — 9-я неделя; прием — 16-17 неделя.

Рекомендуемые методические пособия: ОЛ-2, ОЛ-4, ДЛ-3, МП-5.

Типовое домашнее задание №2 «Функции нескольких переменных»

Задача 1. (3 балла) Для заданной функции выполнить следующие задания.

1. Найти и изобразить на пл. ХОУ область определения (границы, принадлежащие области определения, строить сплошной чертой, не принадлежащие - пунктиром.)

2. Составить уравнения линий уровня и изобразить в области определения. Выделить уравнение той из них, которая проходит через заданную точку , изобразить её (другим цветом) на общем рисунке.

3. В заданной точке М вычислить производную функции по направлению вектора , где . Найти вектор градиента, построить его на общем рисунке.

4. Вычислить наибольшее значение производной функции по направлению в точке М и указать, в каком направлении она достигается.

Задача 2. (4 балла) Найти первый дифференциал:

а) для функции двух или трёх переменных;

б) для сложной функции ;

в) для неявной функции ;

г) для неявной функции .

В пункте а) найти второй дифференциал.

Задача 3. (2 балла) Убедитесь, что выражение является полным дифференциалом некоторой функции, найдите эту функцию.

Задача 4. (2 балла) Покажите, что заданная функция удовлетворяет уравнению .

Задача 5. (2 балла) На поверхности, заданной уравнением найдите точки, в которых касательная плоскость к поверхности перпендикулярна заданному вектору . Составьте уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, проходящие через найденные точки.

Задача 6. (3 балла) Исследуйте функцию на локальные экстремумы.

 

▼ Подготовка к контрольным мероприятиям и их проведение

Типовые варианты заданий

Контроль по модулю№1 ― «Линейная алгебра».

 

Задание аттестационной работы по первому модулю состоит из пяти вопросов: теория с доказательством, формулировка теоремы и пример, три практических задания. Каждый вопрос оценивается в баллах. Максимальное количество баллов за ответы составляет 25 баллов. Дополнительные 5 баллов начисляются в случае, если работа написана на зачетный минимум (15 баллов) с первой попытки.

Типовое задание аттестационной работы «Линейная алгебра»

1. (5 баллов) Дайте определение линейного пространства и докажите следствия из аксиом.

2. (5 баллов) Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду ортогональным преобразованием. Приведите пример.

3. (5 баллов) Докажите, что оператор поворота на угол вокруг оси в является линейным. Выпишите матрицу этого оператора и найдите образ вектора . Ответ проверьте геометрически.

4. (5 баллов) Исследуйте знакоопределенность квадратичной формы в зависимости от значения параметра .

5. (5 баллов) Докажите, что векторы образуют базис в и найдите координаты вектора в этом базисе.

Теоретические вопросы для подготовки к аттестационной работе №1

Все вопросы с доказательствами, за исключением особо оговоренных).

2. Линейная комбинация векторов, линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости.… 3. Базис и размерность линейного пространства. Примеры. Связь между этими… 4. Разложение вектора по базису, единственность разложения. Линейные операции над векторами в координатной форме.

Типовое задание аттестационной работы №2

«Функции нескольких переменных и экстремумы»

1. Дайте определение предела ФНП и сформулируйте его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. (2 балла)

 

2. Дайте определение точки локального экстремума ФНП. Выведите необходимые условия экстремума ФНП. Сформулируйте достаточные условия. (6 баллов)

 

3. В точке М (2; 1; 1;) найти градиент и производную по направлению функции , если N (0; 2; -1), а также максимальное значение производной по направлению в точке M. (4 балла)

 

4. Найти и для функции , заданной уравнением (4 балла)

5. Найдите условные экстремумы функции при условии . (4 балла)

Теоретические вопросы для подготовки к аттестационной работе №2

2. Скалярная ФНП как отображение Rn ® R. Область определения, график функции двух переменных, линии и поверхности уровня. 3. Предел ФНП и его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. 4. Непрерывность ФНП в точке и на множестве. Точки, линии и поверхности разрыва.