Линейные подпространства линейных пространств

Пусть K - поле, _K V - линейное пространство над полем K. Непустое подмножество называется линейным подпространством линейного пространства _K V, если:

1. для всех ;
2. для всех , .

Ясно, что _K U - линейное пространство относительно тех же операций сложения элементов и умножения на элементы из поля K, что и в линейном пространстве _K V.

Если U - линейное подпространство в конечномерном линейном пространстве _KV, , то . Действительно, если элементы линейно независимы в _K U, то эти элементы линейно независимы и в линейном пространстве _K V, , поэтому .

Если _K U - линейное подпространство линейного пространства _K V, и , то _K U=_K V. Действительно, если {u₁,...,u_n} - базис линейного пространства , то эти n элементов u₁,...,u_n линейно независимы в _K V и , поэтому {u₁,...,u_n} - базис линейного пространства _K V. Итак, каждый элемент имеет вид , , т. е. _K V=_K U.