Общий план интегрирования дробно - рациональной функции

1 Если рассматриваемая функция есть неправильная дробь, то выделить целую часть, разделив ее числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, то есть записать в виде (1.36):

,

где ­ многочлен, ­ правильная дробь.

2 Разложить знаменатель на линейные квадратичные множители в виде (1.34).

3 С учетом кратности линейных и квадратичных множителей знаменателя разложить правильную дробь на сумму простейших дробей по схеме (1.38) и определить, желательно комбинированным методом, все неизвестные коэффициенты этого разложения.

4 Вычислить интегралы от целой части и от всех простейших дробей разложения (1.38), используя соответствующие методы интегрирования простейших дробей.

Пусть есть правильная дробь. Допустим также, что знаменатель разложен на линейные и квадратичные множители (1.34), где , то есть

.

Тогда справедлива теорема (принимается без доказательства).

Теорема 1.3 Если есть правильная дробь, знаменатель которой представлен в виде

то эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по схеме:

где ­ некоторые действительные числа.

Из (1.38) следует, что каждому линейному множителю в степени соответствует простейших дробей I и II видов, а квадратичным множителям в степени , соответствуют простейших дробей III и IV видов.