ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

 

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

Суммой a+b векторов aиb называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

 

a+b=b+a (коммутативность)

(а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность)

a + 0=a (наличие нулевого элемента )

a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента),

 

где 0 - нулевой вектор, -aесть вектор, противоположный вектору а. Разностьюa-bвекторов a иbназывают вектор x такой, чтоx+b=a.

Произведением lx вектора а на число l в случае l¹0, а¹О называют вектор, модуль которого равен |l||a|и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, еслиl>0,и в противоположную, если l<0. Если l=0 или (и) a =0, то la=0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

 

 

l*(a+b)= l*a+l*b (дистрибутивность относительно сложения векторов)

(l+u)*a=l*a+u*a (дистрибутивность относительно сложения чисел)

l*(u*a)=(l*u)*a (ассоциативность)

1*a=a (умножение на единицу)

 

Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).

В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a, b,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:

 

aa+bb+…gc=0. (1)

 

Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,сназываются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b,…, g равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e₁,e₂,e₃ трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:

 

A=a1e1+a2e2+a3e3.

Числа a1,a2,a3 называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a1,a2,a3}. Два вектора a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} равны тогда и только тогда, когда… | a1 a2 a3 |

B1 b2 b3| = 0

| c₁ c₂ c₃ |

 

Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃}равны суммам соответствующих координат: a+b={a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃}. Координаты произведения вектора ана число l равны произведениям координат а на l:

Lа= {lа1,la2, la3}.

Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов аиbназывают произведение их модулей на косинус угла jмежду ними:

 

А, b) = | а |*| b | cosj.

 

За jпринимается угол между векторами, не превосходящий p. Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:

 

(a, b)= (b, а) (коммутативность),

(a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),

l(a,b)=( la,b) =(a,l6) (сочетательность относительно умножения на число),

A,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a^b.

Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе,… a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:

Cos2a+cos2b+cos2g=1

 

Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. _е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е. Проекции обладают свойствами:

Пр. _е (a+b)= Пр. _е a+ Пр. _е b (аддитивность),

Пр. е a = Пр. е la (однородность).

 

Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c- левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

 

b b

c c

A a

Правило левой руки правило правой руки

 

Ниже тройку векторов i,j,k следует считать правой .

Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j). Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращения от a к k:

 

AVb=| a || b |*sinj

 

Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:

 

aVb=-bVa (антикоммутативность),

aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов),

l(aVb)=laVb (сочетательность относительно умножения на число),

AVb=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны.

 

Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты {a₁,a₂} {b₁,b₂},то :

aVb=a₁b₁-a₂b_2.