Контрольные вопросы и задания для самопроверки. Напишите алгебраическую форму комплексного числа и дайте название каждого члена в этой форме

Контрольные вопросы и задания для самопроверки

 

1 Сформулируйте определение комплексного числа.

2 Напишите алгебраическую форму комплексного числа и дайте название каждого члена в этой форме.

3 Как определяются арифметические действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме?

4 Сформулируйте определения модуля и аргумента комплексного числа.

Каков их геометрический смысл?

5 Сформулируйте определение многочлена одной переменной.

6 Как определяются основные действия над многочленами?

7 Сформулируйте определение корня многочлена и теорему Безу.

8 Опишите схему Горнера.

9 Сформулируйте определение наибольшего общего делителя.

10 Опишите алгоритм Евклида.

11 Сформулируйте определение матрицы.

12 Сформулируйте правило умножения матриц.

13 Напишите скалярную и единичную матрицы третьего порядка.

14 Чем определяется тип матрицы?

15 Как определяются основные действия над матрицами?

16 Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков? Запишите формулы для вычисления.

17 Сформулируйте определения дополнительного минора для элемента определителя.

18 Сформулируйте определения алгебраического дополнения для элемента определителя.

19 Запишите формулу для нахождения обратной матрицы к невырожденной матрице 3-го порядка.

20 Как проверить правильность нахождения обратной матрицы?

21 Может ли ранг матрицы быть равным нулю? Меньше нуля? Равным 2,5?

22 Сформулируйте определения ранга матрицы.

23 Сформулируйте определение решения системы линейных уравнений.

24 Какую систему можно решать методом Крамера? Запишите формулы Крамера.

25 Опишите матричный метод решения системы линейных уравнений.

26 Опишите метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

27 Сформулируйте определение фундаментальной системы решений.

28 Сформулируйте определение линейной комбинации системы векторов

29 Сформулируйте определение линейно независимой системы векторов.

30 Какие векторы называются коллинеарными?

31 Какие векторы называются компланарными?

32 Какие два вектора называются равными?

33 Сформулируйте определение линейно зависимой системы векторов.

34 Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов.

35 Сформулируйте определение максимально линейно независимой системы векторов.

36 Что является базисом на плоскости; в пространстве?

37 Что называется координатами вектора в базисе ?

38 Как сложить, вычесть два вектора, заданных своими координатами в некотором базисе? Как умножить вектор на число?

39 Напишите необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Как оно записывается в координатной форме?

40 Какой базис в пространстве называется ортонормированным?

41 Сформулируйте определение линейных преобразований матрицы.

42 Как найти скалярное произведение двух векторов по их координатам в ортонормированном базисе?

43 Сформулируйте определение аффинной системы координат.

44 Сформулируйте определение прямоугольной декартовой системы координат.

45 Запишите формулы для нахождения координат точки, делящей отрезок в

отношении .

46 Какой репер называется правым?

47 Сформулируйте определение векторного произведения двух векторов.

48 Как найти векторное произведение векторов заданных своими координатами в ортонормированном базисе?

49 Сформулируйте определение смешанного произведения трех векторов.

50 Перечислите основные свойства векторного произведения векторов.

51 Сформулируйте условие компланарности трех векторов.

52 Запишите формулы, выражающие прямоугольные координаты точки М через полярные координаты.

53 Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом.

54 Запишите уравнение прямой в пространстве проходящей через две точки .

55 Запишите уравнение плоскости проходящей через три точки .

56 Запишите условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

57 Запишите формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.

58 Запишите формулы для нахождения угла между плоскостями.

59 Запишите формулы для нахождения угла между плоскостью и прямой .

60 Эллипс: определение, каноническое уравнение, эксцентриситет, директрисы, построение.

61 Гипербола: определение, каноническое уравнение, эксцентриситет, директрисы, асимптоты, построение.

62 Сформулируйте определение базиса линейного пространства.

63 Сформулируйте определение матрицы перехода от базиса к базису линейного пространства.

64 Сформулируйте определение размерности линейного пространства.

65 Запишите формулы устанавливающие связь между базисами и , а также базисами и линейного пространства.

66 Сформулируйте определение евклидова пространства.

67 Запишите неравенство Коши-Буняковского.

68 Какое пространство называется нормированным пространством?

69 Какой базис в линейном пространстве называется ортогональным?

70 Сформулируйте определение линейного оператора.

71 Какой оператор называется тождественным оператором?

72 Определение ядра и образа линейного оператора А.

73 Какой оператор называется нулевым оператором?

74 Сформулируйте определение матрицы линейного оператора А.

75 Сформулируйте определение характеристического многочлена и характеристического уравнения линейного оператора А.

76 Запишите определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора А.

77 Сформулируйте определение гиперболического цилиндра и сделайте чертеж.

78 Сформулируйте определение эллиптического параболоида и сделайте чертеж.

79 Сформулируйте определение конуса второго порядка и сделайте чертеж.

80 Сформулируйте определение параболического цилиндра и сделайте чертеж.

81 Сформулируйте определение эллипсоида и сделайте чертеж.

82 Запишите формулы первой квадратичной формы поверхности.

83 Запишите формулы второй квадратичной формы поверхности.

84 Геометрическая интерпретация групповых преобразований.

85 Понятие об алгебраических системах.

 

 

Элементы высшей алгебры

Предмет курса. Понятие группы, кольца и поля. Поле комплексных чисел. Расширение понятия числа. Комплексные числа: основные определения,… Отображения (гомоморфизм, изоморфизм и др.)

Тема 1.4 Определители

Тема 1.5 Обратная матрица Обратная матрица: определение, свойства, вывод формулы для вычисления.…  

Тема 1.7 Линейные системы

Системы m линейных уравнений с n неизвестными: основные определения, классификация, метод Гаусса решения системы m линейных уравнений с n неизвестными; правило Крамера решения системы m линейных уравнений с n неизвестными. Исследование систем линейных алгебраических уравнений. Свойства линейной зависимости.

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии - геометрия

Тема 2.1 Векторная алгебра

Векторы в R³: основные определения (равенство, коллинеарность компланарность), линейные операции. Свойства множества векторов, плоскости (реального пространства), исходящих из одной точки: линейное пространство, базис, размерность.

Прямоугольная система координат в R³, координаты вектора, действия над векторами, заданными в координатной форме. Скалярная проекция вектора на ось: определение, свойства, геометрический смысл координат.

Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов: определения, свойства, формулы для вычисления, приложения.

Тема 2.2 Прямая и плоскость в R ³

Плоскость и прямая в R³: различные способы задания, взаимное расположение.

 

Тема 2.3 Кривые и поверхности второго порядка

Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Поверхности, основные свойства, классификация.

 

Тема 2.4 Квадратичные формы

Линейные и билинейные формы: определение и свойства.Квадратичные формы: определение, свойства, приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к каноническому виду. Матрица, ранг, дискриминант квадратичной формы. Положительно и отрицательно определенные формы, условия знакоопределенности. Соответствие между билинейными формами и линейными операторами. Симметрические и эрмитовы линейные операторы.

Раздел 3. Линейная алгебра

Тема 3.1 Линейное пространство

  Тема 3.2 Евклидово пространство Евклидово пространство: определение, неравенство Коши-Буняковского, длина вектора, угол между векторами,…