Тема 3.1 Линейное пространство

Линейное пространство: определение, примеры линейных пространств. Понятие линейной зависимости независимости системы векторов, критерий линейной зависимости системы векторов в произвольном пространстве. Конечномерное линейное пространство: определение, базис, способ выбора базиса, координаты вектора. Критерий линейной независимости векторов в конечномерном пространстве. Матрица перехода от одного базиса к другому. Формулы для связи координат одного и того же вектора в двух базисах одного и того же линейного пространства.

 

Тема 3.2 Евклидово пространство

Евклидово пространство: определение, неравенство Коши-Буняковского, длина вектора, угол между векторами, ортогональные, ортонормированные системы векторов. Независимость ортонормированной системы векторов. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Изоморфизм евклидовых пространств.

 

Тема 3.3 Линейные операторы в линейном пространстве

Линейные операторы линейных пространств: определение, матрица, критерий невырожденности, инвариантность определителя матрицы линейного преобразования, формула для связи матриц одного и того же линейного преобразования в двух различных базисах одного и того же конечномерного линейного пространства. Достаточные условия приводимости матрицы линейного оператора к диагональному виду; понятие о жордановой нормальной форме.

Самосопряженные и ортогональные (унитарные) операторы; симметричные матрицы и их свойства; ортогональные матрицы и их свойства.

 

Тема 3.4 Линейные подпространства

Линейное подпространство: определение, достаточный признак. Множество значений и ядро линейного преобразования. Размерность пространства решений линейной однородной системы.

Инвариантные подпространства. Ортогональное дополнение.

Примеры групп преобразований: классические линейные группы, группа движений и группа аффинных преобразований.

 

Тема 3.5 Собственные векторы

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Характеристический многочлен линейного оператора. Существование базиса из собственных векторов. Теорема Гамильтона - Кэлли. Теоремы Фробениуса - Перрона. Диагонализируемый линейный оператор.

 

Контрольные вопросы для самопроверки

 

1. n-местные операции на множестве. Примеры. Основные свойства бинарной операции на множестве (доказать теорему о том, что если нейтральный элемент относительно бинарной операции существует, то он единственный.)

2. Расширение понятия числа. Комплексные числа, операции над ними, свойства операций.

3. Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Формула Муавра.

4. Корни многочлена. Основные теоремы о корнях, доказательство.

5. Понятие алгебраического уравнения. Разрешимость уравнений 1, 2, 3 степеней с действительными коэффициентами в радикалах.

6. Матрицы, виды матриц. Линейные операции над матрицами. Свойства операций сложения матриц и умножения матрицы на число (доказать коммутативность сложения матриц).

7. Умножение матриц. Свойства умножения матриц (доказать). Транспонирование матрицы, свойства операций транспонирования (доказать).

8. Определитель матрицы. Способы вычисления определителей 1, 2, 3 порядка. Свойства определителей (доказать).

9. Понятие обратной матрицы. Лемма о произведении квадратной матрицы на союзную к ней (доказать). Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы (доказать). Формула обратной матрицы.

10. Теорема о единственности обратной матрицы для невырожденной (доказать).

11. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Теорема об инвариантности ранга матрицы относительно элементарных преобразований (доказать).

12. Теорема о базисном миноре (доказать). Метод окаймляющих миноров для вычисления ранга матрицы.

13. Понятие системы линейных уравнений. Решение невырожденных систем линейных уравнений (вывести формулы Крамера и показать решение в матричном виде).

14. Теорема Кронекера-Капелли (доказать). Алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

15. Система однородных линейных уравнений. Теорема о решении системы однородных линейных уравнений. Понятие о фундаментальной системе решений.

16. Линейное пространство и подпространство. Примеры.

17. Линейная зависимость и независимость систем векторов. Свойства линейной зависимости (доказать). Критерий линейной зависимости векторов (доказать).

18. Размерность и базис линейного пространства. Теорема о линейном выражении любого вектора пространства через базисные векторы (доказать). Понятие координат вектора в базисе. Размерность и базис пространства решений системы однородных линейных уравнений.

19. Понятие Евклидова пространства. Примеры. Нормы вектора в Евклидовом пространстве. Неравенство Коши-Буняковского (доказать).

20. Понятие угла между векторами в Евклидовом пространстве. Понятие ортогонального и ортонормированного базисов. Теорема о существовании ортонормированного базиса во всяком Евклидовом пространстве (доказать).

21. Понятие унитарного пространства. Примеры.

22. Понятие линейного оператора. Примеры. Матрица линейного оператора в заданном базисе. Примеры. Связь между координатами образа и прообраза в заданном базисе (доказать). Координаты вектора в разных базисах.

23. Преобразования матрицы при переходе к новому базису (доказать).

24. Ядро и область значений линейного оператора, их свойства (доказать, что ядро линейного оператора пространства V является подпространством пространства V).

25. Характеристическое уравнение линейного оператора. Теорема об инвариантности характеристического многочлена линейного оператора (доказать).

26. Действия над линейными операторами. Доказать теорему о том, что произведение линейных операторов является линейным оператором.

27. Понятие невырожденного линейного оператора. Взаимно обратные линейные операторы. Собственные векторы линейного оператора. Свойства собственных векторов (доказать). Алгоритм нахождения собственных векторов линейного оператора.

28. Диагонализируемость линейного оператора. Критерий диагонализируемости линейного оператора (доказать).

29. Ортогональные матрицы. Критерий ортогональности матрицы и следствия из него. Понятие ортогонального оператора.

30. Понятие квадратичной формы, его матрица. Теорема о приводимости квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

31. Векторы в пространстве. Операции над векторами, свойства операций, геометрический смысл.

32. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Свойства, геометрический смысл.

33. Способы задания прямой на плоскости (вывод).

34. Способы задания плоскости в пространстве (вывод).

35. Кривые на плоскости, их свойства.

36. Поверхности в пространстве.

37. Геометрические объекты: кривые, способы задания.

38. Поверхности, первая квадратичная форма поверхности.

 

Тесты контроля качества усвоения дисциплины

 

ВАРИАНТ 1

1. Решить матричное уравнение: .

 

2. Если , то ВС равно:

А) определить нельзя; В) ; C) ; D) ; E) ответ не указан.

 

3. Система несовместна при:

A) ; B) ; C) ; D) ; E) ответ не указан.

 

4. Доказать, что оператор А: является линейным и найти его матрицу в исходном базисе:

A) B) C) D) E) ответ не указан.

 

5. Известно, что векторы , , образуют базис. Найти координаты вектора в этом базисе.

A) {2;-2;1}; B) {-1;2;2}; C) {-1;-2;2}; D) {3;4;-1}; E) ответ не указан.

 

6. Найти , если , , .

A) 32-40i; B) 40-32i; C) 5+12i; D) 12+5i; E) ответ не указан.

 

7. Уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;-1,8) перпендикулярно вектору , где В(-4;-3;10), С(-1;-1;7); имеет вид:

A) B)

C) D) определить нельзя; E) ответ не указан.

 

8. Найти:

A) 1; B) ; C) ; D) 207; E) ответ не указан.

 

9. Точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты:

A) (2;3;-1); B) (1;2;3); C) (0;3;0); D) определить нельзя; E) ответ не указан.

 

10. Ранг матрицы равен:

A) 1; B) 2; C) 3; D) 0; E) ответ не указан.

 

11. Матрица в базисе из собственных векторов имеет вид:

A) ; B) ; C) ; D) ; E) ответ не указан.

 

12. Размерность линейного пространства решений системы равна:

A) 1; B) 2; C) 3; D) 4; E) ответ не указан.

 

13. Привести к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы симметричную матрицу .

А) ; В) С) D) ; E) ответ не указан.

 

 

14. Привести к каноническому виду уравнения кривой .

 

15. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора,

имеющего в некотором базисе матрицу и записать матрицу

линейного оператора в этом базисе.

ВАРИАНТ 2

 

1. Решить матричное уравнение: .

 

2. Если , то АС равно:

A) определить нельзя; B) ; C) ; D)

E) ответ не указан.

 

3. Система имеет ненулевое решение при:

A) ; B) или ; C) ; D) ; E) ответ не указан.

 

4. Доказать, что оператор является линейным, и найти его матрицу в исходном базисе.

A) B) C) D) E) ответ не указан.

 

5. Известно, что векторы , , образуют базис. Найти координаты вектора в этом базисе.

A) B) C) D) определить нельзя; E) ответ не указан.

 

6. Найти если .

A) 7+19i; B) 19+7i, 14+20i; C) 5+3i; D) 3+5i; E) ответ не указан.

 

7. Определите уравнение прямой, проходящей через точку А(7;-5;1) перпендикулярно плоскости

А) B) C)

D) E) ответ не указан.

 

8. Найти .

А) B) C) D) 1000; E) ответ не указан.

 

9. Единичный вектор, перпендикулярный плоскости , имеет координаты:

A) (1/3; -2/3;2/3); B) (1;-2;2); C) (0;0;1); D) определить нельзя;

E) ответ не указан.

 

10. Ранг матрицы равен:

A) 1; B) 2; C) 3; D) 0; E) ответ не указан.

 

11. Найти собственный вектор матрицы , соответствующий собственному значению :

A) (с;-с); B) (с;с); C) (0;с); D) (2с;с); E) ответ не указан.

 

12. Фундаментальная система решений системы уравнений имеет вид:

A) B) C) D) E) ответ не указан.

 

13. Привести к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы симметричную матрицу .

А) ; В) С) ; D) ; E) ответ не указан.

 

14. Привести к каноническому виду уравнения кривой

 

15. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора,

имеющего в некотором базисе матрицу и записать матрицу линейного оператора в этом базисе.