Види та взаємозв’язок дисперсій

Дисперсія, або середній квадрат відхилення s² посідає особливе місце у статистичному аналізі соціально-економічних явищ. Вона є невіддільним і важливим елементом інших статистичних методів, зокрема дисперсійного аналізу.

Для ознак метричної шкали дисперсія — це середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої. Залежно від даних вона може бути простою та зваженою:

- для незгрупованих даних

(5.12 а)

- для згрупованих

(5.12 б)

 

Більш зручно проводити розрахунки дисперсії за формулою різниці квадратів:

(5.13)

де - середній квадрат значень варіюючої ознаки;

- квадрат середньої величини.

 

Перетворена формула дисперсії (5.13) має наступний вигляд:

- для незгрупованих даних

;

- для згрупованих даних

;

 

Дисперсія альтернативної ознаки обчислюється як добуток часток:

, (5.14)

де — частка елементів сукупності, яким властива ознака,

— частка решти елементів .

 

Застосуємо основну формулу дисперсії до цих характеристик структури:

Якщо, скажімо, у збиральному цеху частка висококваліфікованих робітників становить , то дисперсія частки .

 

Очевидно, що за відсутності варіації s²=0. Максимальне значення дисперсії складає 0,25, коли d₁ = d₀ = 0,5, а саме, коли одиниці сукупності порівну розподілені між двома значеннями.

Дисперсія альтернативної ознаки широко використовується при проектуванні вибіркових обстежень, обробці даних соціологічних опитувань, статистичному контролі якості продукції тощо. За відсутності первинних даних про розподіл сукупності припускають, що і використовують максимальне значення дисперсії (див. підрозд. 5.4).

 

У тому випадку, коли номінальна ознака приймає не два, а більше значень дисперсія розраховується за формулою

(5.15)

де d_j - частка j-й групи;

m- кількість груп.

Дисперсіямає певні математичні властивості.Сформулюємо найважливіші з них:

1. Дисперсія постійної величини (А) рівна нулю: D(А)=0.

2. Дисперсія не міняється, якщо всі варіанти збільшити або зменшити на одне й те ж число: D(х+А)=D(х).

3. Якщо всі варіанти помножити (розділити) на число А, дисперсія збільшиться (зменшиться) в А² раз.

4. Якщо вагу збільшити або зменшити в одне й те ж число раз, то дисперсія не зміниться.

5. Дисперсія щодо середньої арифметичної менше ніж середній квадрат відхилення від будь-якого числа х₀ на величину. Ця властивість носить назву властивості мінімальності дисперсії від середньої.

 

 

Практично дисперсія розраховується по спрощуючій обчислення формулі, званій «відліком від умовного нуля»:

 

(5.16)

 

де k й х₀ - довільні постійні.

 

Приклад. Обчислити дисперсію і середнє квадратичне відхилення розподілу підприємств за обсягом випуску продукції за даними таблиці 5.5

 

Проміжні обчислення при знаходженні середньої арифметичної та дисперсії по спрощуючих формулах мають багато загального. Тому розрахунки можна вести паралельно.

= (10/1000) * 0,3 + 16,55 = 16,553 тис. од.