Вибіркові оцінки середньої та частки. Довірчий інтервал - раздел Математика, КУРС ЛЕКЦІЙ СТАТИСТИКА У Статистиці Використовують Два Типи Оцінок Параметрів Генеральної Сукупності...
У статистиці використовують два типи оцінок параметрів генеральної сукупності — точкові та інтервальні.
Точкова оцінка — це значення параметра за даними вибірки: вибіркова середня 
та вибіркова частка
.
Інтервальною оцінкою називають інтервал значень параметра, розрахований за даними вибірки для певної ймовірності, тобто довірчий інтервал. Чим менший довірчий інтервал, тим точніша вибіркова оцінка.
Якщо знайдена за даними вибірки статистична характеристика q* служить оцінкою невідомого параметра q, то чим менше абсолютна величина різниці çq -q*ç, тим точніше оцінка q* визначає параметр q. Тобто, якщо çq -q*ç<D, де D >0,то чим менше D, тим оцінка точніше. Таким чином, позитивне число D характеризує точність оцінки.
Інтервальні оцінки дозволяють встановити не тільки точність, а й надійність оцінок.
Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки параметру q по q* називають вірогідність g, з якою здійснюється нерівність çq -q*ç<D.
або 
Звичайно надійність оцінки задається наперед (причому в якості g беруть число, близьке до одиниці. Найбільш часто задають надійність, рівну 0,95; 0,99; 0,999).
Ймовірність появи випадкової помилки вибірки при достатньо великому її обсязі підкоряється закону нормального розподілу та визначається за формулою
де g - довірча ймовірність (надійність) оцінки (значення функції 
й F(t) табульовані при різних значеннях t (додатки 5 і 9)).
Межі довірчого інтервалу визначаються на основі точкової оцінки та граничної помилки вибірки 
:
- для середньої
;
- для частки
,
де m — стандартна (середня) помилка вибірки;
t — квантиль розподілу ймовірностей (коефіцієнт довіри, що відповідає ймовірності g).
Під середньою помилкою вибірки розуміють таку розбіжність середньої вибіркової та генеральної сукупностей, яке не перевищує 
.
Граничною помилкою вибірки прийнято вважати максимально можливу розбіжність 
.
Довірче число t показує, як співвідносяться гранична та стандартна помилки.
Як бачимо з рис. 7.1, з імовірністю 0,683 гранична помилка не вийде за межі стандартної 
, з імовірністю 0,954 вона не перевищить ± 2m, з імовірністю 0,997 — ± 3m. На практиці найчастіше застосовують імовірність 0,954 (на рис. 7.1 незаштрихована частина площини).
Рисунок 7.1 - Співвідношення ймовірностей та ширини довірчих меж
Величина стандартної помилки залежить від обсягу вибірки та при достатньо великому обсязі вибірки n її можна визначити за формулою
Проте у приведеній формулі 
- показник коливання ознаки в генеральній сукупності, який звичайно невідомий. Але вище ми розглянули, що
причому при достатньо великих nможна прийняти
.
На підставі цього твердження у формулах для визначення середньої й граничної помилок замість генеральної дисперсії приймають значення вибіркової дисперсії.
При малих вибірках (n < 30 ), у розрахунках стандартних помилок використовують виправлені вибіркові оцінки та в формулу помилки вибірки вноситься поправка n/(n-1). Тобто
Квантилі t визначають за розподілом імовірностей Стьюдента. У табл. 7.1 наведено деякі значення квантилів t розподілу Стьюдента для ймовірності Pk(t) і числа ступенів свободи k = n – 1. Ймовірність Pk(t) – це довірча ймовірність, тобто ймовірність того, що помилка вибірки буде не більше заданої величини 
.
Для малих вибірок звичайно її значення приймають рівними 0,95, 0,99, 0,997. Іноді в таблицях дається рівень значущості a=1-Pk(t), відповідно рівний 0,05, 0,01, 0,003
Таблиця 7.1 - Квантилі t-розподілу Стьюдента (витяг)
| kPk(t)
| 0,95
| 0,99
| 0,997
|
|
| 2,776
2,262
2,145
2,086
| 4,604
3,250
2,977
2,845
| 6,435
4,024
3,583
3,376
|
Таким чином, на основі табличної величини t та розрахованого значення 
визначають довірчій інтервал
В теорії вибіркового методу розглядаються два способи відбору: повторний та бесповторный.
Якщо генеральна сукупність обмежена й проводиться бесповторный відбір, то при розрахунку помилки вибірки слід враховувати частку вибіркової сукупності в генеральній D=n/N. При цьому розмір граничної помилки середньої величини та частки обчислюється по наступних формулах для відбору:
повторного
бесповторного
Якщо при вибірковому спостереженні вивчається альтернативна ознака, то стандартна помилка вибірки альтернативної ознаки визначається за формулою
де pq- дисперсія альтернативної ознаки в генеральній сукупності.
Оскільки pq- невідомо, то на практиці її замінюють дисперсією вибіркової сукупності d*(1-d) йформула приймає вигляд
Гранична помилка вибірки для альтернативної ознаки визначається по формулах, аналогічних приведеним вище для кількісної ознаки.
В статистичному аналізі часто виникає потреба в порівнянні помилок вибірки різних ознак або однієї й тієї ж ознаки в різних сукупностях. Таке порівняння здійснюють за допомогою коефіцієнтів варіації вибіркових оцінок (інша назва - відносна помилка вибірки)
або 
де 
- коефіцієнт варіації ознаки х.
Все темы данного раздела:
СТАТИСТИКА
для студентів всіх форм навчання
Галузь знань: 0305 Економіка та підприємництво
Напрям(и) підготовки: 6.030504 Економіка підприємства, 6.030507 Маркетинг
СТАТИСТИКА
для студентів всіх форм навчання
Галузь знань: 0305 Економіка та підприємництво
Напрям(и) підготовки: 6.030504 Економіка підприємства, 6.030507 Маркетинг
Предмет статистики.
Слово «статистика» (вiд лат. status — стан речей) означає кількісний облік масових, насамперед соціально-економічних, явищ і процесів. Статистикою називають
Основні категорії статистики.
Основними поняттями (категоріями) в статистиці є поняття статистичної закономірності й статистичної сукупності.
Закономірність — це повторюваність, послідовність і пор
Статистична методологія
Статистична методологія — це комплекс спеціальних, притаманних лише статистиці методів і прийомів дослідження. Вона ґрунтується на загальнофілософських (діалектична логіка) і з
Суть й організаційні форми статистичного спостереження.
Проблема інформаційного забезпечення є першочерговою для будь-якої сфери діяльності. Інформаційне забезпечення — це сукупність відомостей про явища та процеси суспільного жи
Види та способи спостережень.
Класифікуючи статистичні спостереження, визначають їх вид і спосіб реєстрації даних.
Види спостереження розрізняють за двома критеріями: ступенем охоплення одиниць і часом
Питання
Помилки спостереження й контроль достовірності даних.
Точність та достовірність даних є найважливішою вимогою статистики. Контроль даних спостереження водночас є методологічним і організаційним питанням. Якщо його розглядати як засіб попере
Суть статистичного зведення.
Зареєстровані у процесі статистичного спостереження значення ознак відбивають увесь діапазон варіації, яка об’єктивно існує в сукупності. При цьому у поодиноких відомостях губиться загальне, законо
Класифікації та групування.
Групування полягає в розділенні сукупності на групи по істотним для них ознаках.
Традиційно цей поділ виконують за такою схемою: із множини ознак, які описують явище,
Основні питання методології групувань.
Як відомо, при проведенні групування ознаки можуть бути атрибутивними або кількісними. Для атрибутивної ознаки число груп відповідає числу їх різновидів.
Наприклад, при розподілі населе
Суть і види статистичних показників.
Статистичний показник — це міра, тобто єдність якісного і кількісного відображення певної властивості соціально-економічного явища чи процесу.
Якісний зміст показника
Абсолютні величини.
Абсолютні величини характеризують розміри соціально-економічних явищ. Ідеться про обсяги сукупності чи окремих її частин (кількість елементів) та відповідні їм обсяги значень ознаки. Так, на товар
Відносні величини.
Поглиблений соціально-економічний аналіз фактів потребує різного роду порівнянь. Результатом порівняння є відносна статистична величина, яка характеризує міру кількісного сп
Середні величини.
Середня величина є узагальнюючою мірою ознаки, що варіює, у статистичній сукупності. Показник у формі середньої характеризує рівень ознаки в розрахунку на одиницю сукупності. В
Середня арифметична.
Оскільки для більшості соціально-економічних явищ характерна адитивність обсягів (виробництво цукру, витрати палива тощо), то найпоширенішою є арифметична середня, яка обчислюється діленням загальн
Середня гармонічна та деякі особливості обчислення середніх величин.
При розрахунку середньої з обернених показників використовують середню гармонічну.
Припустимо, що кожний з трьох робітників за годину виготовив 2, 3 та 4 деталі (прямий показник). Тоді вит
Більш широко використовується середня гармонічна зважена
, z = x f (4.1)
Середня геометрична
Якщо визначальна властивість сукупності формується як добуток індивідуальних значень ознаки, використовується середня геометрична:
Система економічних показників.
Будь-який показник відтворює лише одну грань процеса або явища. Комплексна характеристика соціально-економічних явищ передбачає використовування системи показників. Кожний показник системи має само
Закономірність розподілу
Статистична сукупність формується під впливом різних причин та умов: з одного боку — типових, спільних для всіх елементів сукупності, а з іншого — випадкових, індивідуальних. Ці чинники взаємозв’яз
Характеристики центра розподілу
Центром тяжіння будь-якої статистичної сукупності є типовий рівень ознаки, узагальнююча характеристика всього розмаїття її індивідуальних значень. Такою характеристикою є середня величин
Таблиця 5.2 - Розподіл проданого взуття за розмірами
Розмір взуття
22,0
22,5
23,0
23,5
24,0
24,5
25 і більш
Разом
Таблиця 5.3- Розподіл працівників цеху за стажем роботи
Стаж, років
Чисельність працівників
Кумулятивні частоти
До 3-х
3 - 6
Характеристики варіації
В одних сукупностях індивідуальні значення ознаки щільно групуються навколо центра розподілу, в інших — значно відхиляються. Чим менші відхилення, тим однорідніша сукупність, а отже, тим більш наді
Види та взаємозв’язок дисперсій
Дисперсія, або середній квадрат відхилення s2 посідає особливе місце у статистичному аналізі соціально-економічних явищ. Вона є невіддільним і важливим елементом
Тоді середнє квадратичне відхилення
Таблиця 5.5 - Розподіл підприємств за обсягом
Криві розподілу. Перевірка статистичних гіпотез про відповідність емпіричного та теоретичного розподілів.
Аналіз закономірностей розподілу можна поглибити, якщо описати його певною функцією, яка називається теоретичною кривою. Теоретична крива описує закономірність співвідношенн
Таблиця 5.7- Розрахунок критерію
Номер групи
Частота
Відхилення
f - f'
(f - f')2
Аналіз концентрації розподілів.
Дуже важливими у статистичному аналізі є характеристика нерівномірності розподілу певної ознаки між окремими складовими сукупності, а також оцінка концентрації значень ознаки в окремих її частинах
Аналіз диференціації та подібності розподілів.
За аналогією з коефіцієнтом концентрації обчислюється коефіцієнт подібності (схожості) структур двох сукупностей:
Суть вибіркового спостереження.
Вибіркове спостереження— такий вид несуцільного спостереження, при якому обстежуються не всі елементи сукупності, що вивчається, а лише певним чином дібрана їх частина. Сукупні
Оцінка генеральної дисперсії по виправленій вибірковій.
Нехай вимагається за даними вибірки оцінити невідому генеральну дисперсію . Відомо, що вибіркова дисперс
Різновиди вибірок.
Формування вибірки виконується за певними правилами. Передусім визначається основа вибірки. У сукупностях, які складаються з «фізичних» елементів, одиниця основи може репрезентувати або окремий еле
При бесповторному відборі помилка розраховується за формулою
(7.4)
де D=
Визначення обсягу вибірки та способи поширення вибіркових даних
У процесі проектування вибіркових спостережень визначають мінімально достатній обсягвибірки, при якому вибіркові оцінки репрезентували б основні властивості генеральної суку
При вивченні альтернативної ознаки (частки р) обсяг вибірки визначається як
(7.8)
Визначення обсягу вибірки передбачає своєчасне обгрунтовування допустимог
При вивченні альтернативної ознаки (частки р) обсяг вибірки визначається як
(7.8)
Визначення обсягу вибірки передбачає своєчасне обгрунтовування допустимог
Метод аналітичних групувань
Метод аналітичних угрупувань полягає в тому, що всі елементи сукупності групують за факторною ознакою х і в кожній групі обчислюють середні значення результативної ознаки у, тобто лін
Регресійний аналіз
В регресійному аналізі оцінюється теоретична лінія регресії.
Теоретична лінія регресії описується певною функцією
Таблиця 8.6 – До розрахунку параметрів лінійної регресії
Номер підприємства
Обсяг виробництва, млн. од., х,
Валові витрати у, млн.грош.од.
ху
х2
Множинна регресія.
Економічні явища залежать від великої кількості факторів. Тому на практиці часто використовують рівняння множинної|факторів| регресії, коли на величину результативної ознаки впливають два і більш ф
Таблиця 8.8 – Критичні значення коефіцієнту рангової кореляції Спірмена при α=0,05
Обсяг вибірки n
5
6
7
8
9
10
Ндекс є співвідношенням двох значень показника, який індексується: оціночного (поточного) і взятого за базу порівняння.
Тобто за статистичною природою індекс — це відносна величина, яка характеризує зміну соціально-економічного явища в часі чи просторі або ступінь відхилення значення показника від певного стандарту
Методологічні основи побудови зведених індексів. Агрегатні індекси.
Зведений індекс характеризує зміну складних явищ під впливом різних чинників|факторів| (співмножників). Він показує, як у середньому змінився показник по сукупності елементів. Наприклад, зміни зага
Середньозважені індекси. Індекси із|із| змінними й постійними вагами
В окремих випадках вихідні|вихідні| дані не дозволяють вивчити динаміку економічного явища на основі агрегатної форми індексу. Другою формою зведеного індексу є середньозважений з індивідуальних ін
Системи взаємозалежних індексів й визначення впливу окремих чинників|факторів|.
Індексний метод дозволяє оцінити вплив зміни окремих чинників|факторів| на зміну результативного показника при мультиплікативній формі зв'язку, причому оцінку можна здійснити як у відносному, так й
Ндекси середніх величин
Поряд зі зведеними, агрегатними індексами в статистичній практиці широко використовують індекси середніх величин (індекси середньої заробітної плати, середньої собівартості одиниці продукції тощо).
Суть і складові елементи динамічного ряду
Суспільні явища безперервно змінюються. Аналіз соціально-економічного розвитку — одне з важливих завдань статистики. Інформаційною базою його слугують динамічні (часові, хронологічні) ряди.
Характеристики інтенсивності динаміки
Швидкість та інтенсивність розвитку різних суспільних явищ значно варіюють, що позначається на структурі відповідних динамічних рядів. Для оцінювання зазначених властивостей динаміки статистика вик
Середня абсолютна та відносна швидкість розвитку
З плином часу варіюють рівні динамічних рядів та обчислені на їх основі абсолютні прирости та темпи зростання. Постає потреба узагальнення притаманних динамічному ряду властивостей, визначення типо
Характеристика основної тенденції розвитку
Будь-який динамічний ряд у межах періоду з більш-менш стабільними умовами розвитку виявляє певну закономірність зміни рівнів — загальну тенденцію. Одним рядам притаманна тен
Оцінка коливань та сталості динаміки
Фактичні рівні динамічних рядів під впливом різного роду чинників варіюють, відхиляючись від основної тенденції розвитку. В одних рядах коливання мають систематичний, закономірний характер, повторю
Статистичні таблиці.
Статистичними таблицями вважають тільки такі, які містять результати аналізу соціально-економічних явищ та процесів (на відміну від допоміжних розрахункових таблиць, таких як логарифмічні).
Основні елементи статистичних графіків.
Статистичний графік –це спосіб наочного подання і викладення статистичних даних за допомогою геометричних знаків та інших графічних засобів з метою їх узагальнення й аналізу.
Класифікація графіків.
Грфіки, які використовують для зображення статистичних даних, дуже різноманітні. За загальним призначенням графіки поділяють на аналітичні, ілюстративні й інформаційні. За функціонально-цільовим пр
ЛІТЕРАТУРА
1. Статистика: Підручник / А.В.Головач, А.М.Єріна та ін.; 3а ред. А.В.Головача. - К.: Вища шк., 1993. - 623 с.
2. Статистика: Підручник/С. С. Герасименко, А. В. Головач,
Критичні значення коефіцієнтів асиметрії та ексцесу
Обсяг вибірки
Асиметрії при
Ексцесу при
Критичні значення кореляційного відношення й коефіцієнту детермінації R2.
а) Рівень істотності
k2 k1
Критичні значення F-критерію.
k1
k2
Квантилі t - розподілу Стьюдента. Критичні точки розподілу Стьюдента
Число
степеней
свободы k
Уровень значимости(двусторонняя критичес
Додаток 7
Таблиця значень функції
S(t) в розподілі Стьюдента
t n
6—7
8-10
11—15
16-25
25—30
Додаток 12
Функція нормального розподілу
СТАТИСТИКА
для студентів всіх форм навчання
Галузь знань: 0305 Економіка та підприємництво
Напрям(и) підготовки: 6.030504 Економіка підприємства, 6.030507 Маркетинг
Новости и инфо для студентов