1a).Находимвектор
=.
2а) Находимвектор
=.
3а)Вычисляем скалярное произведениевекторов :
.
б)Вычисляем векторное произведение векторов :
=
1в)Покажем, что векторы образуют базис.Для этого составим определитель, столбцами которого являются координаты этих векторов и покажем, что он отличен от нуля.
.
Так как , то векторы образуют базиси, следовательно, вектор единственным образом можно разложить по векторам этого базиса.
2в)Записываем разложение вектора по векторам базиса :
или .
Коэффициенты разложения , , называют координатами вектора в базисеи записывают: .
3в)Записываем векторное уравнение относительно ,,в виде эквивалентной ему системы линейных уравнений:, и находим единственное решение системы, например, по формулам Крамера:
, где
,,,.
Таким образом: , , . Следовательно, разложение имеет вид: или кратко: .
Ответ:.
81-90.Даны вершины треугольника : , , Требуется найти:
а)длину стороны; б)уравнение стороны;
в)уравнение медианы , проведённой из вершины;
г)уравнение высоты , проведённой из вершины;
д)длину высоты; е)площадь треугольника.Сделать чертёж.
Решение.Сделаем чертёж:
а)Длинустороны находим как длину вектора :
,
.
б) Уравнение стороны находим как уравнение прямой, проходящей через точки и , и записываем его в виде общего уравнения прямой:
.
в)Уравнение медианы находим как уравнение прямой, проходящей через точки и , и записываем его в виде общего уравнения прямой. Неизвестные координаты точки находим как координаты точки, делящей сторону пополам:
; .
Тогда:
.
г)Уравнение высоты находим как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору , который принимаем за нормальный вектор прямой . Тогда
д)Длину высоты находим как расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнением :
.
е)Площадь треугольника находим по формуле: . Откуда .
Ответ: а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
91 – 100.Даны вершины пирамиды.Требуется найти:
а)длины ребери ; б)угол между ребрамии ;
в)площадь грани; г)объем пирамиды;
д)уравнение плоскости грани;
е)длину высоты пирамиды.