рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений - раздел Математика, Вычислительные методы линейной алгебры Пусть Требуется Решить Систему N Линейных Алгебраических Уравнений С ...

Пусть требуется решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

 

(3.9)

 

Прямой ход метода Гаусса преобразует систему (3.9) к треугольному виду исключением соответствующих неизвестных. Пусть a11 ≠ 0. Первый шаг заключается в исключении переменной x1 с помощью первого уравнения из остальных уравнений. Разделим первое уравнение на a11:

 

(3.10)

 

Затем от второго уравнения отнимем первое уравнение, умноженное на a21. В результате, на месте второго уравнения получим уравнение, не содержащее x1. Чтобы исключить x1 из третьего уравнения отнимем от него первое уравнение, умноженное на a31. Аналогично исключаем x1 из четвертого и последующих уравнений. Для исключения x1 из i-го уравнения (i = 2, 3, …, n) применим формулы:

 

(3.11)

 

В результате этих вычислений получим систему вида:

 

(3.12)

 

На втором шаге исключаем переменную x2 с помощью второго уравнения из третьего и последующих уравнений. Предположим, что . Разделим второе уравнение на :

 

(3.13)

 

В системе (3.12) с помощью второй строки исключим x2 из i-го уравнения (i = 3, 4, …, n), применяя формулы:

 

(3.14)

 

Система (3.12) преобразуется к следующему виду:

 

(3.15)

 

1. В общем случае, на шаге m, для m = 1, 2, …, n – 1, делим сначала m-ое уравнение на :

 

(3.16)

 

а затем исключаем переменную xm с помощью m-ого уравнения из i-го,
где i = m + 1, …, n:

 

(3.17)

 

Здесь предполагается, что на каждом шаге выполняется условие .

В результате (n – 1)-го шага система (3.9) приобретает вид:

 

(3.18)

 

2. Обратный ход метода Гаусса вычисляет неизвестные xi в обратном порядке. Из последнего уравнения в (3.18) находим

 

(3.19)

 

Неизвестные xi определяем по следующим формулам:

 

(3.20)

 

Метод Гаусса предполагает, что на m-ом шаге выполняется условие . Если это условие не выполняется, то алгоритм перестанет работать, так как столкнется с делением на ноль. Кроме этого, в случае выполнения условия , может возникнуть ситуация, когда ведущий элементблизок к нулю, что тоже может привести к неприятностям в виде больших погрешностей.

Чтобы избежать этих трудностей применяют метод Гаусса с выбором главного элемента. В качестве ведущего элемента на каждом шаге выбирают наибольший по модулю элемент столбца и переставляют соответствующую строку с другой строкой так, чтобы найденный элемент стал диагональным, затем исключают соответствующую переменную. Так как при этих перестановках в уравнениях переменные остаются на своих местах, решение преобразованной системы совпадает с решением исходной системы уравнений.

Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцам отличается от алгоритма (3.16) — (3.20) только тем, что перед преобразованием (3.16) надо выполнить поиск максимального по модулю элемента в m-ом столбце и переставить строки системы уравнений так, чтобы максимальный элемент стал диагональным элементом матрицы коэффициентов.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Вычислительные методы линейной алгебры

Вычислительные методы линейной алгебры изучают численные методы решения следующих задач... Решить систему линейных алгебраических уравнений СЛАУ... Вычислить определитель квадратной матрицы A...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Нормы векторов и матриц
Приведем определения норм векторов и матриц [1]. Пусть задан вектор x= (x1, x2, …, xn)T. Наиболее час

Решение систем линейных алгебраических уравнений
Теоретические условия существования и единственности решения систем линейных уравнений известны — главный определитель не должен быть равен нулю. Тогда решение можно найти по правилу Крамера

Алгоритм метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцам.
1. Для m = 1, 2, …, n – 1 выполним преобразования: Найдем максимальный по абсолютной величине элемент в m-ом столбце. Пусть это будет элемент aim. Ес

Итерационный метод
Запишем систему уравнений (3.9) в виде   Ax = b, (3.21) где A — матрица коэффициентов, а b

Метод Зейделя
Пусть требуется решить систему уравнений (3.1):   (3.25)

Погрешность решения и обусловленность системы уравнений
Рассмотрим влияние погрешности правой части и свойств матрицы системы линейных уравнений на погрешность решения. Пусть правая часть системы задана приближенно, с погрешностью η:  

Вычисление определителя и обратной матрицы
Вычисление определителя матрицы является классическим примером задач, для решения которых важно найти эффективные алгоритмы. При непосредственном раскрытии определителя квадратной матрицы

Собственные числа и собственные векторы матрицы
Приведем основные определения и теоремы, необходимые для решения практических задач вычисления собственных чисел и собственных векторов матриц. Определение 3.5. Собственны

Алгоритм определения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора матрицы с положительными элементами.
1. Зададим начальное приближение x0 к собственному вектору; k = 0; 2. Вычисляем следующие приближения xk

Метод скалярных произведений
Рассмотрим метод скалярных произведений [7] для определения наибольшего собственного значения и соответствующего собственного вектора действительной матрицы A. Теорема 3.10.

Алгоритм метода скалярных произведений.
1. Зададим начальные приближения: x0 — к собственному вектору матрицы A и y0 = x0 — к

Алгоритм вычисления очередного (m + 1)-го собственного значения и соответствующего собственного вектора.
0. Выберем начальное приближение ; k = 0; 1. Вычисляем k-е прибл

Задачи для самостоятельного решения.
Решить систему линейных уравнений Ax = b в электронных таблицах методом Гаусса. Вычислить определитель матрицы A методом Гаусса. Найти обратну

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги