Реферат Курсовая Конспект
Собственные числа и собственные векторы матрицы - раздел Математика, Вычислительные методы линейной алгебры Приведем Основные Определения И Теоремы, Необходимые Для Решения Практических...
|
Приведем основные определения и теоремы, необходимые для решения практических задач вычисления собственных чисел и собственных векторов матриц.
Определение 3.5. Собственным числом (или собственным значением) квадратной матрицы A называется число λ такое, что система уравнений
Ax = λx (3.35)
имеет ненулевое решение x. Это решение называется собственным вектором матрицы A, соответствующим собственному значению λ.
Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя, — если x удовлетворяет (3.35), то и cx также является решением (3.35).
Преобразуем систему (3.35) к виду (A – λE)x = 0, где E — единичная матрица. Так как система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения лишь тогда, когда определитель матрицы равен нулю, получим уравнение для определения собственных значений
det(A – λE) = 0, (3.36)
которое называется характеристическим или вековым уравнением.
Если раскрыть определитель, то получим в левой части (3.36) многочлен n-й степени, корнями которого являются собственные значения матрицы A. На практике, при больших порядках n матрицы, задача раскрытия определителя (3.36) является сложной. Как известно из алгебры, многочлен n-й степени имеет n корней (действительных или комплексных), если кратные корни учитывать столько раз, какова их кратность.
Пример 3.9. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
.
Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его:
Найдем собственные векторы, решая системы уравнений.
Отсюда следует, что x3 — произвольное число. Выберем x3 = 1, тогда
получим собственный вектор x1 = (0, 0, 1)T, соответствующий собственному значению λ1 = 2.
Первое и второе уравнения оказались одинаковыми, мы получили одно уравнение с двумя неизвестными. Пусть x2 = 1, тогда x1 = –0,618 и второй собственный вектор равен x2 = (–0,618; 1; 0)T.
Аналогично предыдущему, пусть x1 = 1, тогда x2 = 0,618 и третий собственный вектор равен x3 = (1; 0,618; 0)T.
Нормируем найденные векторы, т.е. разделим каждый вектор на его длину:
Правильность вычислений можно проверить в программе Mathcad с помощью функций eigenvals(A) и eigenvecs(A):
Как видим, результаты ручного расчета практически совпадают со значениями, полученными в программе Mathcad.
Проверьте самостоятельно, что найденные собственные векторы взаимно ортогональны, т.е. при i ≠ k равно нулю скалярное произведение .
Вычислить собственные значения матрицы в общем случае труднее, чем найти при известных собственных значениях соответствующие собственные векторы. В некоторых частных случаях собственные значения вычисляются легко. Например, если матрица диагональная или треугольная, то определитель равен произведению диагональных элементов и поэтому собственные значения равны диагональным элементам. Нетрудно вычислить собственные значения для трехдиагональной матрицы, а также для почти треугольной матрицы.
Для диагональной матрицы собственному значению λi = aii отвечает единичный собственный вектор xi = (0, …, 1, …,0)T, у которого i-я компонента равна 1, а остальные компоненты равны 0.
Теорема 3.5.Собственные значения симметричной матрицы с действительными элементами действительны, а собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.
Теорема 3.6. Если λmin и λmax — наименьшее и наибольшее собственные значения действительной симметричной матрицы A, то для любого вектора x справедливо неравенство
λmin(x, x) ≤ (Ax, x) ≤ λmax(x, x) (3.37)
Определение 3.6. Действительная симметричная матрица A называется положительно определенной, если для любого вектора x ≠ 0 выполняется условие
(Ax, x) > 0 (3.38)
Теорема 3.7.Действительная симметричная матрица A является положительно определенной тогда и только тогда, когда все её собственные значения положительны.
Теорема 3.8(критерий Сильвестра). Для того чтобы действительная симметричная матрица A = [aij] была положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры её определителя были положительны:
(3.39)
Теорема 3.9(теорема Перрона). Если все элементы квадратной матрицы положительны, то её наибольшее по модулю собственное значение положительно и не является кратным, а соответствующий собственный вектор имеет положительные координаты.
Рассмотримитерационный методопределения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора матрицы A, который запишем в виде следующего алгоритма [7]:
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Вычислительные методы линейной алгебры изучают численные методы решения следующих задач... Решить систему линейных алгебраических уравнений СЛАУ... Вычислить определитель квадратной матрицы A...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Собственные числа и собственные векторы матрицы
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов