Числа Стирлинга второго рода - раздел Математика, Курс лекций: Элементы дискретной математики Число Разбиений N-Элементного Множества На K Блоков Произвольно...
Число разбиений n-элементного множества на k блоков произвольного размера (на k непустых подмножеств) выражается числом Стирлинга второго рода S(n, k) (Джеймс Стирлинг, XVIII в.). Для S(n, k)верны следующие соотношения.
S(n, k)= 0 для k > n.
S(0, 0) = 1 (существует только один способ разбиения пустого множества на нулевое число непустых частей, как и в случае с факториалом 0!=1).
S(n, 0) = 0 при n > 0.
S(n, 1) = 1.
S(n, n) = 1.
S(n, 2) = 2n – 1 – 1 при n > 0. Пусть первый элемент множества всегда помещается в 1-й блок. Это обеспечит отсутствие повторяющихся разбиений, отличающихся лишь порядком. Тогда 2-й блок могут образовывать непустые подмножества множества, состоящего из (n – 1) элементов (их число равно 2n–1 – 1), а оставшиеся элементы также помещаются в 1-й блок.
Пример. Например, существует 7 способов разбиения четырехэлементного множества на две части: {1, 2, 3} È {4}, {1, 2, 4} È {3}, {1, 3, 4} È {2}, {2, 3, 4} È {1}, {1, 2} È {3, 4}, {1, 3} È {2, 4}, {1, 4} È {2, 3}. Поэтому S(4, 2) = 7.
Рассмотрим значения чисел Стирлинга для малых значений k:
1.k = 0. Существует только один способ разбиения пустого множества на нулевое число непустых частей, поэтому S(0, 0) = 1. Для непустого множества нужна по крайней мере хотя бы одна часть, так что S(n, 0) = 0 при n > 0.
2.k = 1. Существует только один способ помещения n элементов в одно-единственное непустое множество, поэтому S(n, 1) = 1 при n > 0. Однако S(0, 1)= 0, так как 0-элементное множество пусто.
3.k = 2. Очевидно, что S(0, 2) = 0. Если множество из n>0 объектов разделено на две непустые части, то одна из этих частей содержит последний объект и некоторое подмножество из n – 1 объектов. Имеется 2n-1 подмножеств из n – 1 объектов. Поскольку все объекты нельзя поместить в одну часть, то S(n, 2) = .
Рис... Если A Igrave В то разность А В называется дополнением множества А до... U А Egrave В Говорят при этом что множество U разбито на два множества на А и Аналогичному разбиению можно подвергнуть множество А или множество или то и...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Числа Стирлинга второго рода
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Элементы дискретной математики
Здесь рассмотрены начальные понятия дискретной или конечной математики, т. е. математики, не связанной с понятиями бесконечности, предела и непрерывности. Дискретная математика имеет широкий спектр
Лекция 1. Начала теории множеств.
Цель: Изучить основные понятия теории множеств.
План:
1. Понятие множества
2. Операции над множествами.
3. Отображения множеств.
3. Вопросы для контроля
Лекция 2. Комбинаторика
Цель: Изучить основные понятия комбинаторики
План:
1. Метод математической индукции.
2. Перестановки
3. Размещения
4. Сочетания
5. Разбиения
Два правила перечисления в комбинаторике
В комбинаторике существует два правила, облегчающих перечисления. Это правило суммы и правило произведения. Аналогичные правила есть и в теории вероятностей.
Правило суммы
Комбинаторные задачи
1. Сколько есть вариантов расстановки 6 различных книг на полке?
2. Сколько есть вариантов 6-значных чисел, содержащих цифры 1,1,1,3,3,5?
3. Сколько есть вариантов из 3 команд, за
Перестановки без повторений
Перестановками без повторений или просто перестановками из элементов п различных типов называются их последовательности, отличающиеся друг от друга только порядком входящих в н
Перестановки с повторениями
Перестановками с повторениями из т элементов n различных типов, среди которых k1 одинаковых элементов 1-го типа, k2 одинаковых
Размещения без повторений
Размещениями без повторений или просто размещениями элементов n различных типов по m называются их последовательности из m различных элементов, отличающиеся друг
Размещения с повторениями
Размещениями с повторениями элементов n различных типов по т называются их последовательности из т элементов, отличающиеся друг от друга самими элементами или
Сочетания без повторений
Сочетаниями без повторений или просто сочетаниями элементов n различных типов по т называются их неупорядоченные наборы из m различных элементов, отличающиеся дру
Сочетания с повторениями
Сочетаниями с повторениями элементов n различных типов по т называются их неупорядоченные наборы из т элементов, отличающиеся друг от друга только самими элементами.
Доказательство.
Разобьем все множество разбиений на два класса. В первый поместим разбиения, в которых последний элемент входит в отдельный блок, таких разбиений будет S(n – 1, k – 1), во втор
I. Определения.
А. Для чисел Стирлинга второго рода — символ .
Неупорядоченные разбиения (все)
I. Определения.
А. р(п) — число разбиений целого числа n на целые слагаемые независимо от их порядка.
Например, 5=1+4=2+3=1+1+3=1+2+ + 2 = 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + I + 1
Высказывания
1. Понятие высказывания. Предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно, называется высказыванием.
Высказываниями являются, например, следующие предложения:
Булевы функции
1. Булевы функции одной переменной. Будем, как обычно, обозначать независимую переменную символом х. Если независимых переменных несколько, будем их нумеровать: х1
Новости и инфо для студентов