Доказательство. - раздел Математика, Курс лекций: Элементы дискретной математики Разобьем Все Множество Разбиений На Два Класса. В Первый Поместим Разбиения, ...
Разобьем все множество разбиений на два класса. В первый поместим разбиения, в которых последний элемент входит в отдельный блок, таких разбиений будет S(n – 1, k – 1), во второй – все остальные, т.е. те разбиения, в которых последний элемент входит в один из k непустых блоков, таких разбиений будет kS(n – 1, k).
В таблице приведены значения, вычисленные с помощью рекуррентного соотношения.
В комбинаторике числом Стирлинга второго родаS(n, k) называется число неупорядоченных разбиений n-элементного множества на k непустых подмножеств.
Таблица частных значений чисел Стирлинга второго рода
(1)
(2)
(3)
Если множество состоит из n-элементнов, то оно имеет единственные неупорядоченные разбиения на одно и n непустых подмножеств. Поэтому имеем формулы )4).
(4)
Таблица других свойств чисел Стирлинга второго рода
(5)
(6)
(7)
(8)
Таблица чисел Стирлинга второго рода
(9)
Более подробная таблица имеет вид (треугольник Стирлинга для числа подмножеств):
S(n, k)
S(n, 0)
S(n, 1)
S(n, 2)
S(n, 3)
S(n, 4)
S(n, 5)
S(n, 6)
S(n, 7)
S(n, 8)
S(n, 9)
n =0
n =1
Другие свойства чисел Стирлинга второго рода даны ниже.
Представление чисел Стирлинга второго рода в виде сумм с биномиальными коэффициентами .
(10)
Производящие функции для чисел Стирлинга второго рода (здесь - убывающие факториалы)
(11)
(12)
Экспоненциальная производящая функция для чисел Стирлинга второго рода
(13)
and
(14)
(15)
(16)
На рисунках выше даны диаграммы Дикау (Dickau) для наглядного представления чисел Стирлинга второго рода для и 4. (Из источника: Dickau, R. "Visualizing Combinatorial Enumeration." Mathematica in Educ. Res.8, 11-18, 1999)
Рекуррентная формула для чисел Стирлинга второго рода
(19)
Для вывода некоторых из этих формул требуется более глубокие знания по математике, чем предполагается в этой лекции.
Рис... Если A Igrave В то разность А В называется дополнением множества А до... U А Egrave В Говорят при этом что множество U разбито на два множества на А и Аналогичному разбиению можно подвергнуть множество А или множество или то и...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Доказательство.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Элементы дискретной математики
Здесь рассмотрены начальные понятия дискретной или конечной математики, т. е. математики, не связанной с понятиями бесконечности, предела и непрерывности. Дискретная математика имеет широкий спектр
Лекция 1. Начала теории множеств.
Цель: Изучить основные понятия теории множеств.
План:
1. Понятие множества
2. Операции над множествами.
3. Отображения множеств.
3. Вопросы для контроля
Лекция 2. Комбинаторика
Цель: Изучить основные понятия комбинаторики
План:
1. Метод математической индукции.
2. Перестановки
3. Размещения
4. Сочетания
5. Разбиения
Два правила перечисления в комбинаторике
В комбинаторике существует два правила, облегчающих перечисления. Это правило суммы и правило произведения. Аналогичные правила есть и в теории вероятностей.
Правило суммы
Комбинаторные задачи
1. Сколько есть вариантов расстановки 6 различных книг на полке?
2. Сколько есть вариантов 6-значных чисел, содержащих цифры 1,1,1,3,3,5?
3. Сколько есть вариантов из 3 команд, за
Перестановки без повторений
Перестановками без повторений или просто перестановками из элементов п различных типов называются их последовательности, отличающиеся друг от друга только порядком входящих в н
Перестановки с повторениями
Перестановками с повторениями из т элементов n различных типов, среди которых k1 одинаковых элементов 1-го типа, k2 одинаковых
Размещения без повторений
Размещениями без повторений или просто размещениями элементов n различных типов по m называются их последовательности из m различных элементов, отличающиеся друг
Размещения с повторениями
Размещениями с повторениями элементов n различных типов по т называются их последовательности из т элементов, отличающиеся друг от друга самими элементами или
Сочетания без повторений
Сочетаниями без повторений или просто сочетаниями элементов n различных типов по т называются их неупорядоченные наборы из m различных элементов, отличающиеся дру
Сочетания с повторениями
Сочетаниями с повторениями элементов n различных типов по т называются их неупорядоченные наборы из т элементов, отличающиеся друг от друга только самими элементами.
Числа Стирлинга второго рода
Число разбиений n-элементного множества на k блоков произвольного размера (на k непустых подмножеств) выражается числом Стирлинга второго рода S(n, k) (
I. Определения.
А. Для чисел Стирлинга второго рода — символ .
Неупорядоченные разбиения (все)
I. Определения.
А. р(п) — число разбиений целого числа n на целые слагаемые независимо от их порядка.
Например, 5=1+4=2+3=1+1+3=1+2+ + 2 = 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + I + 1
Высказывания
1. Понятие высказывания. Предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно, называется высказыванием.
Высказываниями являются, например, следующие предложения:
Булевы функции
1. Булевы функции одной переменной. Будем, как обычно, обозначать независимую переменную символом х. Если независимых переменных несколько, будем их нумеровать: х1
Новости и инфо для студентов