Числа разбиений с фиксированными частями

I. Определения.

А. - или E(n; m₁, m₂,…, m_k) - число способов помещения различных предметов в т различных ящиков, где п_k — число предметов в k-м ящике, k= 1,2,... .,., т.

— число перестановок символов, составленных из циклов длины k для k= 1,2,... .,., n,

или D(n; k₁, k₂,…, k_n)— число всех возможных разбиений множества из различных предметов на подмножества , содержащие k предметов, k= 1,2,... .,., n.

В. Производящие функции:

 

С. Явные выражения:

 

В. Контрольные соотношения:

 

 

суммирование по ;

суммирование по и