Локальная и интегральная предельные теоремы Лапласа.
Локальная и интегральная предельные теоремы Лапласа. - раздел Математика, Лекция 4. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ Если Число Испытаний П Велико, То Вычисления По Формуле Бернулли Стано...
Если число испытаний п велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Лаплас получил важную приближенную формулу для вероятности Рn(т) появления события А точно т раз, если п достаточно большое число. Им же получена приближенная формула и для суммы вида .
Локальная предельная теорема Лапласа (доказательство см. в [4]). Пусть р = Р(А) — вероятность события А, причем 0<р<1. Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А при п испытаниях появится точно т раз, выражается приближенной формулой Лапласа Рn(т)», (9.16)
где q= 1-p, .
Для функции j(x) имеется таблица (см. приложение 1) ее значений для положительных значений х (функция j(x) четная).
Пример 9.15.Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстреле равна р = 0,2. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена ровно 20 раз?
Решение. Здесь р= 0,2, q= 0,8, n= 100 и т= 20. Отсюда ==4 и, следовательно, t===0. Учитывая, что »0,40, из формулы (9.16) получаем Р100(20) »0,40×¼ = 0,1 (для получения приближенного равенства »0,40 можно использовать калькулятор).
Перейдем к интегральной предельной теореме Лапласа. Поставим следующий вопрос, какова вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А, имеющее вероятность Р(А) = p (0 <p< 1), при n испытаниях (как и прежде число испытаний велико) появится не менее k раз и не более l раз. Эту искомую вероятность обозначим через Рn(k, l).
Справедлива следующая приближенная формула
Рn(k, l)» , (9.17)
где xk=, xl=. (9.18)
Это составляет содержание интегральной предельной теоремы Лапласа.
Введем функцию
называемую функцией Лапласа, или интегралом вероятностей. Очевидно, Ф(х) есть первообразная для функции j(х). Так как j(х)>0 в (-¥, +¥), то Ф(x) — возрастающая функция в этом интервале (см. подразд. 3.7, п. 1, теорема 3.4). На основании формулы Ньютона—Лейбница (см. подразд. 4.4, п. 2) из формулы (9.17)
Рn(k, l)» Ф(хl)- Ф(хk) (9.20)
Это — интегральная формула Лапласа.
Как известно (см. подразд. 4.5, примечание), интеграл не берется в элементарных функциях. Поэтому для функции (9.19) составлена таблица (см. приложение 2) ее значений для положительных значений х, так как Ф(0) = 0 и функция Ф(х) нечетная, Ф(-х)= ==- Ф(х) (t=-z, dt=
=-dz).
Пример 9.16.Вероятность того, что изделие не прошло проверку ОТК, равна 0,2. Найдем вероятность того, что среди 400 случайно отобранных изделий окажутся непроверенными от 70 до 100 изделий.
Решение. Здесь п = 400, k = 70, l= 100, р = 0,2, q = 0,8, поэтому в силу равенств (9.18) хk = -1,25, хl = 2,5 и согласно формуле (9.20) имеем
Теорема сложения вероятностей несовместимых событий Пример Испытание... Вопросы для контроля знаний и подведения итога прочитанной... Дайте определение случайной величины...
Лекция 4. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ
Цель: Изучить основные понятия теории вероятности
План:
1.Основные понятия. Определение вероятности
2. Свойства вероятности
3. Вопросы для контроля знаний и подв
Формула полной вероятности.
Теорема 8.5. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из п попарно несовместимых событий В1, В2,... , В
Формула Бейеса.
Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается, как изменились (в связи с тем, ч
Случайные величины
1. Понятие «случайные величины».
Определение 1. Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исхода испытания случайн
Математическое ожидание дискретной случайной величины
1. Понятие математического ожидания.Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Однако часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной величин
Дисперсия дискретной случайной величины
1. Понятие дисперсии.Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это на примере. Пусть заданы две дискретные случайные ве
Среднее квадратическое отклонение.
Определение. Средним квадратическим отклонением s(X) случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии:
s(X) =
Понятие о моментах распределения.
Определение 1. Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание случайной величины Xk, где k — натуральное
Непрерывные случайные величины
1. Интегральная функция распределения. Для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной нельзя построить таблицу распределения. Поэтому непрерывные случайные величины изучают другим спосо
Некоторые законы распределения случайных величин
1. Биномиальное распределение.Пусть производится п испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других и
Гипергеометрическое распределение
Гипергеометрическое распределение имеет место при выборочном контроле конечной совокупности объектов объёма N по альтернативному признаку. Каждый контролируемый объект классифицируетс
Генеральная совокупность и выборка
Мы приступаем к изучению элементов математической статистики, в которой разрабатываются научно обоснованные методы сбора статистических данных и их обработки.
1. Генеральная совоку
Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке
1. Выборка как набор случайных величин.Пусть имеется некоторая генеральная совокупность, каждый объект которой наделен количественным признаком X. При случайном извлечении о
Лекция 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Цель: Изучить основные понятия теории графов
План:
1. Основные понятия и определения графа и его элементов
2. Деревья. Лес. Бинарные деревья
3. Способы задания г
Деревья. Лес. Бинарные деревья
С вершины дорога вперед — только вниз.
Я. Таранов
Деревомназывают конечный связный граф с выделенной вершиной (корнем),не имеющий циклов (
Сети. Сетевые модели представления информации
В этом проглядывается талант исследователя охватить значительные районы явлений с помощью немногочисленных допущений, представить разносторонние совокупности предметов и процессов в сжатой, компакт
Применение графов и сетей
Храни порядок, и порядок сохранит тебя.
Латинская формула
Сети получили широкое практическое применение потому, что они являются естественным и удобным способом изображения
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов