Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение имеет место при выборочном контроле конечной совокупности объектов объёма N по альтернативному признаку. Каждый контролируемый объект классифицируется либо как обладающий признаком A, либо как не обладающий этим признаком. Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина Y, равная числу объектов, обладающих признаком в случайной выборке объёма , где n<N. Например, число Y дефектных единиц продукции в случайной выборке объёма из партии объёма N имеет гипергеометрическое распределение, если n<N. Другой пример — лотерея. Пусть признак A билета — это признак «быть выигрышным». Пусть всего билетов N, а некоторое лицо приобрело n из них. Тогда число выигрышных билетов у этого лица имеет гипергеометрическое распределение.

Для гипергеометрического распределения вероятность принятия случайной величиной Y значения y имеет вид

,

где D— число объектов, обладающих признаком A, в рассматриваемой совокупности объёма N. При этом y принимает значения от до , при прочих y вероятность в формуле равна нулю. Таким образом, гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами — объёмом генеральной совокупности N, числом объектов D в ней, обладающих рассматриваемым признаком A, и объёмом выборки .

Простой случайной выборкой объёма из совокупности объёма N называется выборка, полученная в результате случайного отбора, при котором любой из наборов из n объектов имеет одну и ту же вероятность быть отобранным. Методы случайного отбора выборок респондентов (опрашиваемых) или единиц штучной продукции рассматриваются в инструктивно-методических и нормативно-технических документах. Один из методов отбора таков: объекты отбирают один из другим, причём на каждом шаге каждый из оставшихся в совокупности объектов имеет одинаковые шансы быть отобранным. В литературе для рассматриваемого типа выборок используются также термины «случайная выборка», «случайная выборка без возвращения».

Поскольку объёмы генеральной совокупности (партии) N и выборки обычно известны, то подлежащим оцениванию параметром гипергеометрического распределения является D. В статистических методах управления качеством продукции D — обычно число дефектных единиц продукции в партии. Представляет интерес также характеристика распределения — уровень дефектности.

Для гипергеометрического распределения

, .

Последний множитель в выражении для дисперсии близок к 1, если N>10n. Если при этом сделать замену , то выражения для математического ожидания и дисперсии гипергеометрического распределения перейдут в выражения для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения. Это не случайно. Можно показать, что

, y=0, 1, 2, …, n,

при N>10n, где . Точнее, справедливо предельное соотношение

, y=0, 1, 2, …, n, и этим предельным соотношением можно пользоваться при N>10n

.

3. Распределение Пуассона.Пусть производится серия п независимых испытаний (п = 1, 2, 3, ...), причем вероятность появления данного события А в этой серии Р(А)=р_n>0 зависит от ее номера п и стремится к нулю при п®¥ (последовательность «редких событий»). Предположим, что для каждой серии среднее значение числа появлений события А постоянно, т.е. п р_n = m= const.

Отсюда р_n = m/п.

Исходя из формулы Бернулли (9.15), для вероятности появления события А в n-й серии ровно т раз имеем выражение Р_п(т) = р^т(1-p)^n-т₌.

Пусть т фиксировано. Тогда

=

(здесь использован второй замечательный предел; см. подразд. 2.5). Поэтому

.

Если п велико, то в силу определения предела (см. подразд. 2.5) вероятность Р_п(т) сколь угодно мало отличается от . Отсюда при больших п для искомой вероятности Р_п(т) имеем приближенную формулу Пуассона (для простоты знак приближенного равенства опущен)

Р_п(т) =, где m= пр_n.

Определение. Говорят, что случайная величина X распределена по закону Пуассона, если эта величина задана таблицей:

 

X					….
р					….

Здесь m — фиксированное положительное число (разным значениям m отвечают разные распределения Пуассона).

Найдем математическое ожидание дискретной величины X, распределенной по закону Пуассона. Согласно определению математического ожидания (см. подразд. 9.2, п. 2, примечание 2)

Найдем далееD(Х).Сначала найдемМ(Х²):

Теперь по известной формуле (см. подразд. 9.3, п. 2)

D(Х)= М(Х²)- М²(Х)=

Это распределение названо в честь французского математика Симеона-Дени Пуассона (1781—1840), впервые получившего его в 1837 году.

Мы только что доказали, что распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения, когда вероятность осуществления события мала, но число испытаний велико, причём . Точнее, справедливо предельное соотношение

 ,.

Поэтому распределение Пуассона (в старой терминологии «закон распределения») часто называют также «законом редких событий».

Распределение Пуассона возникает в теории потоков событий. Доказано, что для простейшего потока с постоянной интенсивностью число событий (вызовов), происшедших за время , имеет распределение Пуассона с параметром . Следовательно, вероятность того, что за время не произойдет ни одного события, равна , то есть функция распределения длины промежутка между событиями является экспоненциальной.

Распределение Пуассона крайне важно во многих физических и биологических задачах. Оно представляет собой грубую модель частоты встречаемости катастрофических наводнений при довольно длительном периоде наблюдений. Распределение микроэлементов в образце почвы может также приближаться к пуассоновскому.

Распределение Пуассона используется при анализе результатов выборочных потребителей товара, расчёте оперативных характеристик планов статистического приёмочного контроля в случае малых значений приёмочного уровня дефектности, для описания числа разладок статистически управляемого технологического процесса в единицу времени, числа «требований на обслуживание», поступающих в единицу времени в систему массового обслуживания, статистических закономерностей несчастных случаев и редких заболеваний, и так далее.

Описание иных параметрических семейств дискретных распределений и возможности их практического использования рассматриваются в обширной (более миллиона названий статей и книг на десятках языков) литературе по вероятностно-статистическим методам.

5.Равномерное распределение. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, принимающей все свои значения из отрезка [а; b], называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т. е.

Отсюда(см, подразд. 9.4, п. 1)

(9.21)

Но, как известно (см. подразд. 9.4, п. 2),

Из сравнения этого равенства с (9.21) получаем

Итак, плотность вероятности непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно на отрезке [а; b], имеет вид

Покажем, что и

Действительно,

Далее

Пример 9.17. На отрезке [а; b] наугад указывают точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется в левой половине отрезка?

Решение. Пусть X — случайная величина, равная координате выбранной точки. X распределена равномерно (в этом и состоит точный смысл слов: «наугад указывают точку»), а так как середина отрезка [а; b] имеет координату , то искомая вероятность равна (см. подразд. 9.4, п. 2)

Впрочем, этот результат был ясен с самого начала.

6.Закон нормального распределения. Центральная предельная теорема.Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется нормальным, если ее дифференциальная функция f(х) определяется формулой (9.22)

где параметр а совпадает с математическим ожиданием величины X: а = М(Х), параметр s является средним квадратическим отклонением величины X: s=s(X).

В подразд. 3.8 (пример 3.47) было рассмотрено построение графика функции (кривая Гаусса). С учетом графика этой функции график функции (9.22) будет иметь вид, как на рис. 9.1. Причем его максимальная ордината равна Значит, эта ордината убывает с возрастанием значенияs(кривая «сжимается»к оси Ох) и возрастает с убыванием значения s (кривая «растягивается» в положительном направлении оси Оy), что отражено на рис. 9.2.

Изменение значений параметра а (при неизменном значении s) не влияет на форму кривой.

Нормальное распределение с параметрами а=0 и s=1 называют нормированным. Дифференциальная функция в случае такого распределения

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (а; b), согласно известной теореме (см. п. 2),

Сделаем в этом интеграле замену переменной, полагая Тогда х = =а+st, dх=s dt и

(9.23)

Используя функцию (9.19), получаем

Итак,

(9.24)

Нормальное распределение вероятностей имеет в теории вероятностей большое значение. Нормальному закону подчиняется вероятность при стрельбе по цели, в измерениях и т. п.