рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий.

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий. - раздел Математика, Лекция 4. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ Определение 1. Суммой Событий А И В ...

Определение 1. Суммой событий А и В называют событие С = А + В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или В.

Пример 8.21. Испытание — стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А — попадание в мишень первым стрелком, событие В — попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень, по крайней мере, одним стрелком.

Аналогично суммой конечного числа событий А1, А2,,..., Аk называют событие А=А12 + ...+Аk , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий Аi (i = 1, ... , k).

Определение 2. Произведением событий А и В называют событие С = =АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А, и событие В.

Аналогично произведением конечного числа событий А1, А2,,..., Аk называют событие А1, А2,,..., Аk, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

В условиях предыдущего примера произведением событий А к В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.

Из определения произведения событий непосредственно следует, что АВ = ВА.

Теорема 8.1. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А) +Р(В). (8.2)

Доказательство. Используем классическое определение вероятности. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно п, событию А благоприятствуют k элементарных событий, событию В - l элементарных событий. Так как А и В — несовместимые события, то ни одно из элементарных событий U1, U2,,..., Un не может одновременно благоприятствовать и событию А и событию В. Следовательно, событию А + В будет благоприятствовать k + l элементарных событий. По определению вероят-

ности откуда и следует утверждение теоремы.

Совершенно так же теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместимых событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице:

Р(А) + Р() =1. (8.3)

Так как события А и несовместимы, то по доказанной выше теореме Р(А) + Р() = Р(А + ). Событие А + есть достоверное событие (ибо одно из событий А или произойдет). Поэтому Р(А + ) = 1, что и приводит к искомому соотношению (8.3).

Пример 8.22. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

Решение. Вероятность вынуть красный шар Р(А) = 3/10, синий Р(В) =5/10. Так как события А и В несовместимы, то по доказанной выше теореме (8.1) Р(А + B)= Р(А) +Р(В)= 3/10+5/10.=0,8.

 

Пример 8.23. На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр. Какова вероятность сорвать в темноте окрашенную астру, если срывают одну астру?

Решение. Искомая вероятность равна сумме вероятностей сорвать красную или синюю астру, т. е.

 

2. Теорема умножения вероятностей.

Определение 1. Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет1. В противном случае события А и В называют зависимыми.

(1 Несколько событий А1, А2,,..., Аk называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если вероятность появления любого из них не зависит от того, произошли какие-либо другие рассматриваемые события или нет.)

Пример 8.24. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А — вынут белый шар. Очевидно, Р(А) =1/2 -. После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В — во втором испытании вынут белый шар — также имеет вероятность Р(В) =1/2, т.е. события а и В — независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т.е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается (Р(В) =1/3); если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается (Р(В) =2/3).

Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А, в таких случаях события А и В — зависимые.

Определение 3. Пусть А и В — зависимые события. Условной вероятностью РА(В) события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А уже наступило.

Так, в примере 8.24 РA(В) = 1/3.

Заметим, что если события А и В независимы, то РА(В) = Р(В).

Теорема 8.2. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А)РА (В). (8.4)

Доказательство. Пусть из всего числа п элементарных событий k благоприятствуют событию А и пусть из этих k событий l благоприятствуют

событию A, а значит, и событию А В. Тогда что и доказывает искомое равенство (8.4).

Замечание. Применив формулу (8.4) к событию ВА, получим

Р(ВА) = Р(В)РВ(А). (8.5)

Так как АВ = ВА (см. п. 1), то, сравнивая (8.4) и (8.5), получаем, что

Р (А) РA (В) = Р(В)РВ(А)

Пример 8.25. В условиях примера 8.24 берем тот случай, когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй раз белые шары?

Решение. По формуле (8.4) имеем

Пример 8.26. Предположим, что вероятности встретить реку, загрязняемую постоянным фактором Р(А), временным фактором Р(В) и обоими факторами Р(АВ), равны соответственно 0,4; 0,1 и 0,05.

Решение. Найдем:

1) вероятность того, что река, загрязняемая временным фактором, будет к тому же загрязнена и постоянным фактором, т.е. РВ(А);

2) вероятность того, что река, загрязняемая постоянным фактором, будет еще загрязнена и временным фактором, т.е. РА(В). Из формулы (8.5) находим

 

 

откуда

Аналогично, используя формулу (8.4), находим

Теорема 8.3. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А)×Р(В). (8.6)

Замечание. В случае независимых событий эта теорема распространяется на любое конечное число их.

Доказательство. Действительно, если А и В — независимые события, то РA(В) = Р(В) и формула (8.4) превращается в формулу (8.6).

Пример 8.27. Вероятность выживания одного организма в течение 20 мин Р = 0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих организмов условиями находятся только что родившиеся 2 организма. Какова вероятность того, что через 20 мин они будут живы?

Решение. Пусть событие А — первый организм жив через 20 мин, событие В — второй организм жив через 20 мин. Будем считать, что между организмами нет внутривидовой конкуренции, т.е. события А и В независимы. Событие, что оба организма живы, есть событие АВ. По теореме 8.3 получаем Р(АВ) = =0,7•0,7 = 0,49.

3. Теорема сложения вероятностей совместимых событий.

Теорема 8.4. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения, т. е.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(АВ). (8.7)

Доказательство. Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, l — событию В и m— одновременно событиям А и В. Отсюда событию А + В благоприятствуют k + l - т элементарных событий. Тогда

Р

 

Замечание. Если события А и В несовместимы, то их произведение АВ есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0, т.е. формула (8.2) является частным случаем формулы (8.7).

Пример 8.28. В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых растений. Выбирают два растения. Определим вероятность того, что среди них хотя бы одно окажется здоровым.

Решение. Введем обозначения для событий:

A1 - первое растение здоровое;

A2 - второе растение здоровое;

A1 + A2 - хотя бы одно растение здоровое.

Так как события A1 и A2 совместимые, то согласно формуле (8.7)

P(A1 + A2)= P(A1)+P(A2) - P(A1A2)=0,95+0,95-0,95×0,95 = 0,9975»1.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Лекция 4. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий Пример Испытание... Вопросы для контроля знаний и подведения итога прочитанной... Дайте определение случайной величины...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема сложения вероятностей несовместимых событий.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Лекция 4. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ
Цель: Изучить основные понятия теории вероятности План: 1.Основные понятия. Определение вероятности 2. Свойства вероятности 3. Вопросы для контроля знаний и подв

Формула полной вероятности.
Теорема 8.5. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из п попарно несовместимых событий В1, В2,... , В

Формула Бейеса.
Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается, как изменились (в связи с тем, ч

Вопросы для контроля знаний и подведения итога прочитанной лекции
  1. Дайте определения противоположным, независимым, несовместным событиям. Приведите примеры таких событий. 2. Что называется полной группой событий? 3. Сформулируй

Случайные величины
1. Понятие «случайные величины». Определение 1. Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исхода испытания случайн

Математическое ожидание дискретной случайной величины
1. Понятие математического ожидания.Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Однако часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной величин

Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.
1.Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине. Постоянную С можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно зн

Дисперсия дискретной случайной величины
1. Понятие дисперсии.Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это на примере. Пусть заданы две дискретные случайные ве

Среднее квадратическое отклонение.
Определение. Средним квадратическим отклонением s(X) случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии: s(X) =

Понятие о моментах распределения.
Определение 1. Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание случайной величины Xk, где k — натуральное

Непрерывные случайные величины
1. Интегральная функция распределения. Для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной нельзя построить таблицу распределения. Поэтому непрерывные случайные величины изучают другим спосо

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
Определение 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f(x) называют величину несобственного интеграла (если он сход

Некоторые законы распределения случайных величин
1. Биномиальное распределение.Пусть производится п испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других и

Локальная и интегральная предельные теоремы Лапласа.
Если число испытаний п велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Лаплас получил важную приближенную формулу для вероятности Рn(т) появления соб

Гипергеометрическое распределение
Гипергеометрическое распределение имеет место при выборочном контроле конечной совокупности объектов объёма N по альтернативному признаку. Каждый контролируемый объект классифицируетс

Генеральная совокупность и выборка
Мы приступаем к изучению элементов математической статистики, в которой разрабатываются научно обоснованные методы сбора статистических данных и их обработки. 1. Генеральная совоку

Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке
1. Выборка как набор случайных величин.Пусть имеется некоторая генеральная совокупность, каждый объект которой наделен количественным признаком X. При случайном извлечении о

Лекция 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Цель: Изучить основные понятия теории графов План: 1. Основные понятия и определения графа и его элементов 2. Деревья. Лес. Бинарные деревья 3. Способы задания г

Деревья. Лес. Бинарные деревья
С вершины дорога вперед — только вниз. Я. Таранов Деревомназывают конечный связный граф с выделенной вершиной (корнем),не имеющий циклов (

Сети. Сетевые модели представления информации
В этом проглядывается талант исследователя охватить значительные районы явлений с помощью немногочисленных допущений, представить разносторонние совокупности предметов и процессов в сжатой, компакт

Применение графов и сетей
Храни порядок, и порядок сохранит тебя. Латинская формула Сети получили широкое практическое применение потому, что они являются естественным и удобным способом изображения

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги