рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсия дискретной случайной величины - раздел Математика, Лекция 4. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ 1. Понятие Дисперсии.Математическое Ожидание Не Дает Полной ...

1. Понятие дисперсии.Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это на примере. Пусть заданы две дискретные случайные величины Х и Y своими законами распределения:

X -2
р 0,4 0,2 0,4

 

Y -100
р 0,3 0,4 0,3

 

Несмотря на то что математические ожидания величин X и Y одинаковы: М(Х)=М(Y)=0, возможные значения величин Х и Y «разбросаны» или «рассеяны» около своих математических ожида­ний по-разному: возможные значения величины X расположены гораздо ближе к своему математическому ожиданию, чем значения величины Y.

Укажем еще на один пример. При одинаковой средней величине годовых осадков одна местность может быть засушливой и неблагоприятной для сельскохозяйственных работ (нет дождей весной и летом), а другая — благоприятной для ведения сельского хозяйства.

Из сказанного вытекает необходимость введения новой числовой характеристики случайной величины, по которой можно судить о «рассеянии» возможных значений этой случайной величины.

Пусть задана дискретная случайная величина X:

X х1 х2 …. х n
р p1 p2 …. p n

Определение 1. Отклонением случайной величины X от ее математического ожидания М(Х) (или просто отклонением случайной величины X) называют случайную величину Х- М(Х).

Видно, что для того, чтобы отклонение случайной величины X приняло значение x1 - М(Х), достаточно, чтобы случайная величина X приняла значение x1. Вероятность же этого события равна p1; следовательно, и вероятность того, что отклонение случайной величины X примет значение x1- М(Х), также равна p1. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения случайной величины X. Используя это, запишем закон распределения отклонения случайной величины X:

Х- М(Х) Х1- М(Х) Х2 - М(Х) …. Хп - М(Х)
р p1 p2 …. p n

Вычислим теперь математическое ожидание отклонения Х- М(Х). Пользуясь свойствами 5 и 1 (подразд. 9.2, п. 2), получаем

М[Х - М(Х)] = М(Х) - М(Х) = 0. Следовательно, справедлива следующая теорема.

Теорема 9.2. Математическое ожидание отклонения Х- М(Х) равно нулю:

М[Х-М(Х)] = 0.

Из теоремы видно, что с помощью отклонения Х- М(Х) не удается определить среднее отклонение возможных значений величины Xот ее математического ожидания, т.е. степень рассеяния величины X. Это объясняется взаимным погашением положительных и отрицательных возможных значений отклонения. Однако можно освободиться от этого недостатка, если рассматривать квадрат отклонения случайной величины X.

Запишем закон распределения случайной величины [X- М(Х)]2 (рассуждения те же, что и в случае случайной величины Х- М(Х)).

[Х-М(Х)]2 [ Х1- М(Х)] 2 [Х2 - М(Х)] 2 …. [Хп-М(Х)] 2
р p1 p2 …. p n

Определение 2. Дисперсией D(Х) дискретной случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания:

D(Х) = М[(Х-М(Х))2].

Из закона распределения величины [Х- М(Х)]2 следует, что D(X) =

= [Х1- М(Х)]2p1+ [Х2- М(Х)]2p2+ ... + [ Хn- М(Х)]2pn.

2. Свойства дисперсии дискретной случайной величины.

1. Дисперсия дискретной случайной величины X равна разности между математическим ожиданием квадрата величины X и квадратом ее математического ожидания:

D(X) = М(Х2)2(Х).

Действительно, используя свойств математического ожидания, имеем

D(X) = М[(Х - М(Х))2] = М[Х2 -2ХМ(Х) + М2(Х)] =

= М(Х2)-2М(Х)×М(Х) + М2(Х)= М(Х2)-2 М2(Х) + М2(Х)= М(Х2)- -М2(Х).

С помощью этого свойства и свойства математического ожидания устанавливаются следующие свойства.

2.Дисперсия постоянной величины С равна нулю.

3.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX) =C2 D(X).

4.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: М(Х+Y) = D (Х) + D (Y).

Методом математической индукции это свойство распространяется и на случай любого конечного числа слагаемых.

Следствием свойств 3 и 4 является свойство 5.

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий: М(Х-Y) = D (Х) + D (Y).

Пример 9.6. Дисперсия случайной величины X равна 3. Найти дисперсию следующих величин: а) --3 X; б) 4 X + 3.

Согласно свойствам 2, 3 и 4 дисперсии имеем

а) D(-3Х) = 9D(Х) = 9×3 = 27;

б) D (4Х+ 3) = D(4Х) + D(3) = 16D(Х) + 0 = 16×3 = 48.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Лекция 4. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий Пример Испытание... Вопросы для контроля знаний и подведения итога прочитанной... Дайте определение случайной величины...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Дисперсия дискретной случайной величины

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Лекция 4. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ
Цель: Изучить основные понятия теории вероятности План: 1.Основные понятия. Определение вероятности 2. Свойства вероятности 3. Вопросы для контроля знаний и подв

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий.
Определение 1. Суммой событий А и В называют событие С = А + В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или

Формула полной вероятности.
Теорема 8.5. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из п попарно несовместимых событий В1, В2,... , В

Формула Бейеса.
Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается, как изменились (в связи с тем, ч

Вопросы для контроля знаний и подведения итога прочитанной лекции
  1. Дайте определения противоположным, независимым, несовместным событиям. Приведите примеры таких событий. 2. Что называется полной группой событий? 3. Сформулируй

Случайные величины
1. Понятие «случайные величины». Определение 1. Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исхода испытания случайн

Математическое ожидание дискретной случайной величины
1. Понятие математического ожидания.Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Однако часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной величин

Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.
1.Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине. Постоянную С можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно зн

Среднее квадратическое отклонение.
Определение. Средним квадратическим отклонением s(X) случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии: s(X) =

Понятие о моментах распределения.
Определение 1. Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание случайной величины Xk, где k — натуральное

Непрерывные случайные величины
1. Интегральная функция распределения. Для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной нельзя построить таблицу распределения. Поэтому непрерывные случайные величины изучают другим спосо

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
Определение 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f(x) называют величину несобственного интеграла (если он сход

Некоторые законы распределения случайных величин
1. Биномиальное распределение.Пусть производится п испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других и

Локальная и интегральная предельные теоремы Лапласа.
Если число испытаний п велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Лаплас получил важную приближенную формулу для вероятности Рn(т) появления соб

Гипергеометрическое распределение
Гипергеометрическое распределение имеет место при выборочном контроле конечной совокупности объектов объёма N по альтернативному признаку. Каждый контролируемый объект классифицируетс

Генеральная совокупность и выборка
Мы приступаем к изучению элементов математической статистики, в которой разрабатываются научно обоснованные методы сбора статистических данных и их обработки. 1. Генеральная совоку

Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке
1. Выборка как набор случайных величин.Пусть имеется некоторая генеральная совокупность, каждый объект которой наделен количественным признаком X. При случайном извлечении о

Лекция 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Цель: Изучить основные понятия теории графов План: 1. Основные понятия и определения графа и его элементов 2. Деревья. Лес. Бинарные деревья 3. Способы задания г

Деревья. Лес. Бинарные деревья
С вершины дорога вперед — только вниз. Я. Таранов Деревомназывают конечный связный граф с выделенной вершиной (корнем),не имеющий циклов (

Сети. Сетевые модели представления информации
В этом проглядывается талант исследователя охватить значительные районы явлений с помощью немногочисленных допущений, представить разносторонние совокупности предметов и процессов в сжатой, компакт

Применение графов и сетей
Храни порядок, и порядок сохранит тебя. Латинская формула Сети получили широкое практическое применение потому, что они являются естественным и удобным способом изображения

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги