Реферат Курсовая Конспект
Задача 2. - раздел Математика, Задания и методические указания Для выполнения контрольной работы по дисциплине «статистика» Для Выборки, Извлеченной Из Генеральной Совокупности И Представленной Интерва...
|
Для выборки, извлеченной из генеральной совокупности и представленной интервальным рядом (в первой строке указаны интервалы значений исследуемого количественного признака X генеральной совокупности; во второй – частоты , т.е. количество элементов выборки, значения признака которых принадлежат указанному интервалу), требуется:
1) Построить полигон относительных накопленных частот (кумулятивную кривую);
2) Построить гистограмму частот и гистограмму относительных частот;
3) Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, моду и медиану;
4) Проверить на уровне значимости гипотезу о нормальном распределении признака генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона;
5) В случае согласованности с нормальным распределением найти с надежностью доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения признака генеральной совокупности.
2.0.
3-5 | 5-7 | 7-9 | 9-11 | 11-13 | 13-15 | 15-17 | |
.
В нашем случае n=2750.Тогда на основе данной таблицы построим интервальный статистический и интервальный выборочный ряды распределения, сведенные в одну таблицу.
i | |||||||
3-5 | 5-7 | 7-9 | 9-11 | 11-13 | 13-15 | 15-17 | |
0,0036 | 0,0255 | 0,1636 | 0,3527 | 0,3127 | 0,12 | 0,0218 | |
0,0036 | 0,0291 | 0,1927 | 0,5454 | 0,8581 | 0,9781 |
Построим гистограмму частот.
В нашем случае исследуемый признак X может принимать значения на отрезке [3;17]. Интервальная группировка выполнена таким образом, что длина каждого интервала равна h=2. Площадь прямоугольника, построенного на i-ом интервале, должна равняться . Это значит, что высота i-го прямоугольника будет .
На остальных интервалах прямоугольники строятся аналогично.
Если высоту i-го прямоугольника определим как , то получим гистограмму относительных частот, которую можно рассматривать как аналог дифференциальной функции распределения в теории вероятностей.
Для того, чтобы найти выборочную среднюю, воспользуемся формулой
, где k - количество интервалов, n - объем выборки.
.
Для вычисления выборочной дисперсии воспользуемся формулой . В случае интервальной группировки находится по формуле
=.
Теперьможно окончательно вычислитьвыборочную дисперсию
.
Найдем выборочное среднее квадратическое отклонение
.
Отыщем выборочный коэффициент вариации
.
Найденное значение выборочного коэффициента вариации дает наглядное представление о степени относительного рассеяния исследуемого признака.
Отыщем значения "исправленной" дисперсии и "исправленного" среднего квадратического отклонения , .
Для отыскания моды в случае интервальной группировки используем формулу , где - левая граница интервала, имеющего наибольшую интервальную частоту, h - шаг (длина интервала группировки), , R - размах выборки, k - количество интервалов, - наибольшая интервальная частота, - интервальная частота интервала, расположенного слева от интервала с наибольшей интервальной частотой, - интервальная частота интервала, расположенного справа от интервала с наибольшей интервальной частотой.
В нашем случае .
Значение медианы для случая интервальной группировки отыщем по формуле , где - левая граница интервала, содержащего медиану, n - объем выборки, h - шаг, - интервальная частота интервала, содержащего медиану, - интервальные частоты всех интервалов, расположенных слева от интервала, содержащего медиану.
Найдем значение медианы для нашей конкретной задачи .
Далее начнем суммировать интервальные частоты слева направо до тех пор пока сумма интервальных частот не превзойдет .Номер последней прибавленной частоты будет совпадать с номером интервала, содержащего медиану распределения: 10+70+450+970=1500>1375. Следовательно, =9, .
Проверим на уровне значимости a=0,05 гипотезу о нормальном распределении признака x генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона.
Для нашей задачи все условия применимости метода Пирсона выполняются: , для любого интервала .
Проверка гипотезы нормальности по критерию Пирсона основана на сравнении эмпирического и гипотетического распределений, точнее, на сравнении эмпирических и гипотетических интервальных частот. Мера близости между ними оценивается статистикой Пирсона:
, где - интервальные (эмпирические) частоты, - интервальные теоретические частоты, - теоретические вероятности попадания переменной x в i-ый интервал группировки, , - левая граница i-го интервала, - правая граница i-го интервала.
При этом теоретические вероятности рассчитываются в предположении нормальности распределения случайной величины x по формуле:
, где и функция есть плотность стандартного нормального распределения, таблица значений которой приведена в приложении 2.
Вычисление наблюдаемого значения статистики Пирсона организуем в форме расчетной таблицы. Для заполнения таблицы нам понадобятся величины , , .
i | |||||||||||
(3;5) | 6,785 | 3,182 | 0,0025 | 0,0023 | 6,325 | 3,675 | 13,506 | 2,135 | |||
(5;7) | 4,785 | 2,244 | 0,0325 | 0,0305 | 83,87 | -13,87 | 192,516 | 2,295 | |||
(7;9) | 2,785 | 1,306 | 0,1691 | 0,1586 | 436,15 | 13,85 | 191,823 | 0,440 | |||
(9;11) | 0,785 | 0,368 | 0,3726 | 0,3495 | 961,12 | 8,875 | 78,766 | 0,082 | |||
(11;13) | 1,215 | 0,570 | 0,3391 | 0,3181 | 874,78 | -14,78 | 218,301 | 0,250 | |||
(13;15) | 3,215 | 1,508 | 0,1276 | 0,1197 | 329,18 | 0,825 | 0,681 | 0,002 | |||
(15;17) | 5,215 | 2,446 | 0,0198 | 0,0186 | 51,15 | 8,85 | 78,322 | 1,531 | |||
0,9973 | 6,735 |
Следовательно, . Заданный уровень значимости , количество интервалов группировки , и потому p=1-a=0,95 и число степеней свободы k=m-3=4.
Теперь по таблице критических точек распределения отыщем значение .
Сравним значения и . Имеем 6,735<9,5 , следовательно, <. Поэтому гипотезу о нормальном распределении признака x принимаем. В этом случае необходимо найти с надежностью g=0,95 доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения признака x генеральной совокупности. Пример нахождения доверительных интервалов разобран при решении задачи 1 (пятый вопрос).
Таким образом, решение задачи 2 полностью разобрано.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Государственное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Российский государственный профессионально педагогический...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Задача 2.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов