Задача 8.

Элементы дисперсионного анализа.

По каждой из трех основных рабочих профессий цеха (i -порядковый номер профессии: 1-токари; 2-фрезеровщики; 3-слесари) имеются соответствую­щие данные о числе рабочих профессии (чел.), о средней заработной плате

(руб.), а также о внутригрупповой дисперсии заработной платы (руб²). Статистические данные за месяц приведены в таблице.

Требуется:

1)определить общую дисперсию заработной платы рабочих цеха;

2)оценить однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной заработной платы;

3)определить, на сколько процентов дисперсия в размере заработной платы обусловлена различиями в профессии рабочих и влиянием других причин.

i

Предварительные сведения.

Для характеристики величины вариации (колеблемости) признака стати­стической совокупности используются абсолютные и относительные показате­ли. В качестве абсолютных показателей чаще всего рассматривают дисперсию и среднеквадратическое отклонение (СКО)

,

где - наблюдённые значения признака (варианты), п - общее число вариант (объем выборки). Суммирование в этой формуле производится по всем вариан­там; - среднее значение признака, - среднее значение квадрата признака

.

Изучая только общую дисперсию интересующего исследователя признака, нельзя оценить влияние отдельных факторов, как качественных, так и количе­ственных, на величину признака. Это можно сделать при помощи метода груп­пировки, когда варианты подразделяются на непересекающиеся группы по признаку-фактору. При этом, кроме общей средней по всей выборке, рас­сматриваются средние по отдельным группам и следующие показатели дис­персии:

1.общая дисперсия

2.межгрупповая дисперсия ,

3.внутригрупповые дисперсии ,

4.средняя внутригрупповая дисперсия .
Кратко охарактеризуем эти дисперсии.

1. Общая дисперсия учитывает влияние всех факторов, от которых за­висит величина изучаемого признака X

,

где - общая средняя по всей выборке.

2. Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки. Эта дисперсия определяется по формуле:

здесь - внутригрупповые средние, - число вариант в i -ой группе; к число групп, суммирование производится по различным группам.

3. Внутригрупповая дисперсия

отражает рассеяние значений признака, относящихся к одному уровню группировочного фактора, поэтому она определяется не этим фактором, а дру­гими причинами.

4. Средняя внутригрупповая дисперсия , так же как и , характеризу­ет случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия, положенного в основу группировки. Эта дисперсия определяется по формуле

.

Можно доказать, что имеет место правило сложения дисперсий

Отношение показывает, какую долю общей дисперсии составляет

дисперсия, возникающая под влиянием группировочного фактора, т.е. позволя­ет оценить влияние этого фактора на величину изучаемого признака X.

При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же сово­купности или при сравнении колеблемости одного и того же признака в разных совокупностях используются относительные показатели вариации. Наиболее распространенным среди относительных показателей вариации является коэффициент вариации

Его применяют также и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превыша­ет 33% (для распределений, близких к нормальному).

Решение задачи 8.

1. Найдем среднюю из внутригрупповых дисперсий

1967,17 (руб²).

Определим среднюю зарплату по цеху для основных рабочих профессий (общую среднюю)

2597,67(руб).

Находим межгрупповую дисперсию

=19438(руб²).

Используя правило сложения дисперсий, найдем общую дисперсию заработной платы:

= 19438 +1967 = 21405 (руб²).

2. Оценим однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной
заработной платы с помощью коэффициента вариации

5,63%.
Так как V < 33 %, то совокупность считается однородной.

3. Общая дисперсия заработной платы рабочих цеха обусловлена разли­чиями в профессии на

.

Эта же дисперсия обусловлена влиянием других причин на