Арифметические вычисления. Проценты

Тема №1.

Арифметические вычисления. Проценты.

 

Обыкновенные дроби. Действия над обыкновенными дробями.

Дробью называется число, состоящее из нескольких долей единицы. Обыкновенной дробью называется число вида , где натуральное число n показывает, на… Если числитель меньше знаменателя, то обыкновенная дробь называется… Например, - правильные обыкновенные дроби, - неправильные обыкновенные дроби, 1- смешанное число.

Дидактический материал.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

Десятичные дроби. Действия над десятичными дробями.

Например, ; ; . 2º. Правила арифметических действий над десятичными дробями: a) При сложении (вычитании) десятичных дробей надо записать их одну под другой так, чтобы одинаковые разряды были…

Дидактический материал.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

Процент. Основные задачи на проценты.

2º. При решении основных задач на проценты (нахождение процентов данного числа; нахождение числа по его процентам) некоторая величина b… . Из этой пропорции по двум известным величинам определяют искомую третью величину, пользуясь основным свойством…

Дидактический материал.

а) 4% от 75; б) % от 330; в) 160% от 82,25. 2) Найдите число, если: а) 40% его равны 12; б) 1,25 % его равны 55; в) 0,8% его равны 1,84; г) % его равны .

Тема №2.

Уравнения. Модуль числа.

 

Уравнения с одной переменной. Равносильность уравнений.

Множество всех значений неизвестного х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения или областью… Число х из ОДЗ уравнения называется корнем ( или решением) уравнения, если при… 2º. Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным.

Для линейного уравнения могут представиться три случая: 1) a ≠ 0; в этом случае корень уравнения ; 2) a = 0, b ≠ 0; тогда получаем уравнение , которое не имеет корней;

Квадратные уравнения.

Корни квадратного уравнения находят по формуле: . Если коэффициент а = 1, то квадратное уравнение называют приведенным; если коэффициент а ≠ 1 – неприведенным. …

Квадратичная функция, ее график.

2º. Графиком функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы. Координаты вершины параболы определяются по формулам: .

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

. Геометрический смысл модуля: |a| есть расстояние от точки числовой оси,… 2º. Уравнения вида можно решать геометрически.

Дидактический материал.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ;

Тема №3.

Степени и корни.

 

Степень с целым показателем.

1) если n = 0, а ≠ 0: ; 2) если : ; 3) если а ≠ 0: .

Арифметический корень. Степень с рациональным показателем.

2º. Замечание. Для любого действительного числа а, любого натурального… в частности .

Формулы сокращенного умножения.

; ; ; ; ;

Дидактический материал.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

Тема №4.

Неравенства с одной переменной (часть I).

 

Решение линейных и квадратных неравенств.

Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают. Равносильность… 2º. Линейным неравенством называется неравенство вида , где. Если a > 0, то .

Метод интервалов.

2º. Для решения любых алгебраических уравнений вида (1)или вида (2) , где x1, x2, …, xn – действительные числа,… Суть его состоит в следующем: на координатной оси отмечают числа x1, x2, …, xn, в промежутке справа от xn ставят знак…

Дидактический материал.

1. ; 2. ; 3. ; 4. . Решите системы неравенств:

Тема №5.

Неравенства с одной переменной (часть II).

 

Неравенства, содержащие знак модуля.

а) f(x) ≥ 0, тогда |f(x)| = f(x); б) f(x)<0, тогда |f(x)| = -f(x). 2º. При решении неравенств вида |f(x)| < a или |f(x)| > b полезно использовать следующие соотношения:

Множество значений функции.

2º. Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток , где m – наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток ,… Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R. 3º. Области значений основных элементарных функций:

Дидактический материал.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ;

Тема №6.

Иррациональные уравнения.

1º. Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня. При решении иррациональных уравнений применяют 2 метода: метод возведения в… 2º. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем:

Дидактический материал.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;

Тема №7.

Показательные уравнения.

 

Методы решения показательных уравнений.

Решение показательных уравнений основано на свойстве степени: две степени с одним и тем же основание равны тогда и только тогда, когда равны их… 2º. Основные способы решения показательных уравнений: 1) простейшее уравнение имеет решение ;

Классификация показательных уравнений.

1. Уравнения, решаемые переходом к одному основанию.

Пример 18. Решить уравнение .

Решение: Воспользуемся тем, что все основания степеней являются степенями числа 5: .

2. Уравнения, решаемые переходом к одному показателю степени.

Эти уравнения решаются преобразованием исходного уравнения к виду , которое использованием свойства пропорции приводится к простейшему.

Пример 19. Решить уравнение:

Решение:

.

3. Уравнения, решаемые вынесением общего множителя за скобки.

Если в уравнении каждый показатель степени отличается от другого на некоторое число, то уравнения решаются вынесением за скобки степени с наименьшим показателем.

Пример 20. Решить уравнение .

Решение: Вынесем в левой части уравнения степень с наименьшим показателем за скобки:

.

Пример 21. Решить уравнение

Решение: Сгруппируем отдельно в левой части уравнения слагаемые, содержащие степени с основанием 4, в правой части – с основанием 3, затем вынесем степени с наименьшим показателем за скобки:

.

 

4. Уравнения, сводящиеся к квадратным (или кубическим) уравнениям.

К квадратному уравнению относительно новой переменной y сводятся уравнения:

а) вида подстановкой , при этом ;

б) вида подстановкой , при этом .

Пример 22. Решить уравнение .

Решение: Сделаем замену переменной и решим квадратное уравнение:

.

Ответ: 0; 1.

5. Однородные относительно показательных функций уравнения.

Уравнение вида является однородным уравнением второй степени относительно неизвестных a^x и b^x . Такие уравнения сводятся предварительным делением обеих частей на и последующей подстановкой к квадратным уравнениям.

Пример 23. Решить уравнение .

Решение: Разделим обе части уравнения на :

.

Положив , получим квадратное уравнение с корнями .

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений . Из первого уравнения находим, что . Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значения x.

Ответ: -1/2.

6. Рациональные относительно показательных функций уравнения.

Пример 24. Решить уравнение .

Решение: Разделим числитель и знаменатель дроби на 3^x и получим вместо двух – одну показательную функцию:

7. Уравнения вида .

Такие уравнения с множеством допустимых значений (ОДЗ), определяемым условием , логарифмированием обеих частей уравнения приводятся к равносильному уравнению , которые в свою очередь равносильны совокупности двух уравнений или .

Пример 25. Решить уравнение: .

Решение:

.

 

Дидактический материал.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6.; 7. ; 8. ;

Тема №8.

Показательные неравенства.

1º. Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным неравенством. 2º. Решение показательных неравенств вида основано на следующих… если , то неравенство равносильно ;

Дидактический материал.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . 6. При каких значениях x точки графика функции лежат ниже прямой ?

Тема №9.

Логарифмы.

1º. Логарифмом числа b по основанию a (где ) называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить число b. Логарифм числа b по основанию a обозначается символом logab. В записи logab… Равенство означает, что .

Дидактический материал.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ;

Тема №10.

Преобразование тригонометрических выражений.

1º. На плоскости xOy рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. На единичной окружности отметим точку A(1;0).… Косинусом угла α называется абсцисса точки М: . Синусом угла α называется ордината точки М: .

Дидактический материал.

Вычислите: , если ; , если ; , если . Упростите выражение: ; 13. ; ; 15. ; ; ; 18. ; . Преобразуйте в произведение: ; .

Тема №11.

Тригонометрические уравнения.

Решение простейших тригонометрических уравнений.

2º. Формула для корней уравнения , где , имеет вид: . Уравнение при решений не имеет.

Основные методы решения тригонометрических уравнений.

Пример 40. Решить уравнение. Решение:

Таблица значений тригонометрических функций.

Аргумент   Функция						π		2π
							-1
						-1
					—		—
	—					—		—

 

Дидактический материал.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ;

Тема №12.

Решение геометрических задач.

Планиметрия.

a, b, c – стороны; α, β, γ – противолежащие им углы;

Дидактический материал.

1) 2) 3) 4) 5) . 2. В равнобедренном треугольнике основание равно 18, а боковая сторона в 1,25… 1) 216 2) 108 3) 144 4) 121 5) 110.

Стереометрия. Многогранники.

Если l – длина бокового ребра, P – периметр основания, Sосн – площадь основания, Sсеч – площадь перпендикулярного сечения; Sбок – площадь боковой… ; . 2º. Прямой называется призма, если ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Прямая призма…

Дидактический материал.

1) 5 см 2) 4 см 3) 2 см 4) 3 см 5) 10 см. 2. Высота правильной треугольной пирамиды равна равна 6 см. На расстоянии 3 см… 1) 40 см2 2) 120 см2 3) 20 см2 4) 25 см2 5) 60 см2.

Стереометрия. Круглые тела, тела вращения.

Если обозначить за R – радиус основания, H – его высоту, l – образующую, Sбок – площадь боковой поверхности, V – объем, то: ; . 2º. Прямым круговым конусом (или просто конусом) называется тело, образованное вращением прямоугольного…

Дидактический материал.

1) 8 2) 3) 9 4) 3π 5) 7 2. Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна , а его объем… 1) 272 2) 68π 3) 262 4) 5) 208