Основные методы решения тригонометрических уравнений.
Основные методы решения тригонометрических уравнений. - раздел Математика, Арифметические вычисления. Проценты 1º. Уравнение Вида ...
1º. Уравнение вида (a¹0, b¹0, c¹0) равносильно уравнению , где , .
Пример 40. Решить уравнение.
Решение:
.
Ответ: .
2º. Одним из основных методов решения тригонометрических уравнений, так же как и других видов уравнений, является метод подстановки (замены переменной).
Пример 41. Решить уравнение .
Решение: Так как , то уравнение можно переписать следующим образом: , т.е. . Полагая , приходим к квадратному уравнению , откуда , и получаем совокупность двух простейших уравнений . Первое из них имеет решение , а второе решений не имеет.
Ответ: .
Метод замены переменной полезен при решении так называемых однородных уравнений, т.е. уравнений вида
(однородное уравнение I порядка),
(однородное уравнение II порядка).
Если a¹0, то при делении обеих частей первого уравнения на , а второго уравнения на получаем алгебраические уравнения, решаемые подстановкой . Если a=0, то во втором уравнении выносится за скобки.
Пример 42. Решить уравнение .
Решение: Разделив уравнение на , получим . Пусть , тогда или:
1) ;
2) .
Ответ: .
Замечание 1. Уравнение вида (d¹0) можно привести к однородному уравнению II порядка, положив .
Замечание 2. Уравнение вида (c¹0) можно привести к однородному уравнению II порядка относительно и .
3º. При решении тригонометрических уравнений также часто используют метод разложения на множители.
Пример 43. Решить уравнение .
Решение: Все члены уравнения переносятся в левую часть, после чего левую часть уравнения раскладывают на множители:
.
Значит, либо , откуда , либо , откуда .
Ответ: .
Заметим, что для разложения на множители могут применяться различные формулы: формулы разложения тригонометрических функций в произведение, формулы понижения степени, формулы преобразования произведения в сумму и др.
Пример 44. Решить уравнение .
Решение: Согласно формуле (10.19) заменим произведение тригонометрических функций суммой, а затем воспользуемся формулой (10.15):
.
Ответ: .
Пример 45. Решить уравнение .
Решение: Это уравнение можно привести к квадратному относительно , понизив степень и , но существует более короткий способ.
Дополним левую часть уравнения до полного квадрата суммы, для чего прибавим к обеим частям уравнения. Получим уравнение равносильное данному:
;
.
Применяя формулы (10.1) и (10.10), получаем: .
Пусть . Тогда ; (не удовлетворяет условию ), . Так как , то ,
Обыкновенные дроби. Действия над обыкновенными дробями.
1º. Натуральные числа – это числа, употребляемые при счете. Множество всех натуральных чисел обозначают N, т.е. N={1, 2, 3, …}.
Дробью называется число, состоящее из нес
Процент. Основные задачи на проценты.
1º. Процентом называется сотая часть какого-либо числа. Следовательно, само число составляет 100 процентов. Слово «процент» заменяют знаком %, т.е.
Дидактический материал.
1) Найдите:
а) 4% от 75; б) % от 330; в) 160% от 82,25.
2) Найдите число, если:
Решение линейных и квадратных неравенств.
1º. Решить неравенство с одной переменной – значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным. Элементы этого множества называются решениями нер
Метод интервалов.
1º. Если дискриминант квадратного трехчлена D > 0 или D = 0, то квадратное неравенство
Неравенства, содержащие знак модуля.
1º. При решении неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, используется определение модуля, что приводит к рассмотрению двух случаев:
а) f(x) ≥ 0, тогда |f(
Множество значений функции.
1º. Множеством (областью) значений E(y) функции y=f(x) называется множество всех таких чисел y0, для каждого из которых найдется число x0 тако
Иррациональные уравнения.
1º. Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.
При решении иррациональных уравнений применяют 2 метода: метод возведен
Методы решения показательных уравнений.
1º. Показательными уравнениями называют уравнения, содержащие переменную в показателе степени.
Решение показательных уравнений основано на свойстве степени: две степени с одним
Показательные неравенства.
1º. Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным неравенством.
2º. Решение показательных неравенств вида
Преобразование тригонометрических выражений.
1º. На плоскости xOy рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. На единичной окружности отметим точку A(1;0). Радиус OA называют начальным
Решение простейших тригонометрических уравнений.
1º. Уравнение, содержащее неизвестную величину только под знаком тригонометрических функций, называется тригонометрическим. Тригонометрические уравнения либо не имеют корней, либо имеют
Планиметрия.
1º. Произвольный треугольник.
a, b, c – стороны;
Дидактический материал.
1. В треугольнике ABC длины сторон AB и AC соответственно равны 4 и 6, а синус угла BAC равен
Стереометрия. Многогранники.
1º. Призмой называется многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников (оснований), расположенных в параллельных плоскостях, и параллелограммов (боковых граней
Дидактический материал.
1. Если боковая поверхность правильной четырехугольной призмы равна 40 см2, а полная 90 см2, то высота призмы равна:
1) 5 см 2) 4 см 3) 2 см 4) 3 см 5) 10 см.
Стереометрия. Круглые тела, тела вращения.
1º. Прямым круговым цилиндром (или просто цилиндром) называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону. Разверткой боковой поверхности
Новости и инфо для студентов