Характеристические корни и собственные значения.

 

Пусть квадратная матрица порядка с действительными элементами. Пусть, с другой стороны, некоторое неизвестное. Тогда матрица (), где единичная матрица порядка , называется характеристической матрицей матрицы . Так как в матрице () по главной диагонали стоит , все же остальные элементы равны нулю, то

Определитель матрицы () будет многочленом от , притом степени . В самом деле, произведение элементов, стоящих на главной диагонали, будет многочленом от , со старшим членом , все же остальные члены определителя не содержат по меньшей мере двух из числа элементов, стоящих на главной диагонали, и поэтому их степень относительно , не превосходит . Коэффициенты этого многочлена можно было бы легко найти. Так, коэффициент при равен , а свободный член совпадает с определителем матрицы .

Многочлен степени называется характеристическим многочленом матрицы , а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнями этой матрицы.

ТЕОРЕМА (о характеристических многочленах). Подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами и, следовательно, одинаковыми характеристическими корнями.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, в самом деле, Тогда, учитывая, что матрица () перестановочна с матрицей , а получаем:

что и требовалось доказать. □

Из этого результата вытекает, ввиду доказанной в §3.1 теоремы о связи матриц линейного оператора в разных базисах:

СЛЕДСТВИЕ. Линейный оператор может задаваться в разных базисах различными матрицами, однако все эта матрицы имеют один и тот же набор характеристических корней. □

Эти корни можно называть поэтому характеристическими корнями самого оператора . Весь набор этих характеристических корней, причем каждый корень берется с той кратностью, какую он имеет в характеристическом многочлене, называется спектром линейного оператора .

Укажем одно из применений характеристических корней. Пусть в линейном пространстве задан линейный оператор . Если вектор , отличный от нуля, переводится оператором в вектор, пропорциональный самому ,

(6)

где некоторое действительное число, то вектор называется собственным вектором оператора , а число собственным значением этого оператора, причем говорят, что собственный вектор относится, к собственному значению .

Заметим, что так как , то число , удовлетворяющее условию (6), определяется для вектора однозначно. Подчеркнем, далее, что нулевой вектор не считается собственным вектором оператора , хотя он удовлетворяет условию (6), притом для любого .

ТЕОРЕМА (о собственных значениях). Действительные характеристические корни линейного оператора , если они существуют, и только они служат собственными значениями этого оператора.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, в самом деле, оператор имеет в базисе матрицу и пусть вектор

является собственным вектором оператора ,

(7)

Как доказано в §3.1,

(8)

Равенства (7) и (8) приводят к системе равенств

(9)

Так как , то не все числа равны нулю. Таким образом, ввиду (9), система линейных однородных уравнений

(10)

обладает ненулевым решением, а поэтому ее определитель равен нулю,

(11)

или т. е, собственное значение на самом деле оказалось характеристическим корнем матрицы и, следовательно, линейного оператора , притом, понятно, действительным.

Обратно, пусть будет любым действительным характеристическим корнем оператора и, следовательно, матрицы . Тогда имеет место равенство (11). Отсюда следует, что система линейных однородных уравнений (10) обладает ненулевым решением, притом даже действительным, так как все коэффициенты этой системы действительны. Если это решение обозначим через

(12)

то имеют место равенства (9). Обозначим через вектор пространства , имеющий в базисе строку координат (12); ясно, что . Тогда справедливо равенство (8), а из (9) и (8) следует (7). Вектор оказался, таким образом, собственным вектором оператора , относящимся к собственному значению . Теорема доказана. □

В заключении отметим, что совокупность собственных векторов линейного оператора , относящихся к собственному значению , совпадает с совокупностью ненулевых действительных решений системы линейных однородных уравнений (10). Отсюда следует, что совокупность собственных векторов линейного оператора , относящихся к собственному значению , будет, после добавления к ней нулевого вектора, линейным подпространством пространства .

Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей

Решение: Составим характеристическое уравнение

.

Раскрывая определитель, получим уравнение

,

корни которого являются собственными значениями линейного оператора .

Найдём собственные векторы, соответствующие собственному значению Для этого решим систему (10), считая

После преобразования получим:

или

Фундаментальная система решений имеет вид:

Собственный вектор

Аналогично, для , получим систему линейных однородных уравнений

фундаментальным решением которой будет:

и собственный вектор, соответствующий собственному значению