Линейная зависимость и независимость систем векторов

Определение: P – поле, если для выполняются аксиомы:

1. - ассоциативность

2. - коммутативность

3.

4.

(1)-(4)- абелева группа по сложению

5. - дистрибутивность

6. - дистрибутивность

(1)-(6) - кольцо

7. - ассоциативность

8. - унитарность

9.

10. - коммутативность

Пусть V – непустое множество, P – поле, заданы операции – сложение 2-х элементов из V, умножение вектора на элементы из P, и выполнены аксиомы поля. Тогда V – линейное пространство над P.

Векторы линейно зависимы, если и , такие что .

Векторы линейно независимы, если для .

Теорема: Критерий линейной зависимости

из векторного пространства V над полем P. Векторы - линейно зависимы, если и только если либо , либо , такое что линейно выражается через .

Свойства: Имеют место следующие утверждения:

1. Система векторов {X_1, …,X_k} с линейно зависимой подсистемой сама линейно зависима;

2. Любая часть линейно независимой системы векторов {X_1, …,X_k} линейно независима;

3. Среди линейно зависимых векторов X_1, …,X_k хотя бы один является линейной комбинацией остальных;

4. Если один из векторов X_1, …,X_k линейно выражается через остальные, то векторы X_1, …,X_k линейно зависимы;

5. Если векторы X_1, …,X_k линейно независимы, а векторы X_1, …,X_k, X линейно зависимы, то X – линейная комбинация векторов X_1, …,X_k;

6. Если векторы X_1, …,X_k линейно независимы и вектор X_k+1 нельзя через них выразить, то система X_1, …,X_k, X_k+1 линейно независима.

Доказательство:

1) Пусть, например, первые s векторов X_1, …,X_s, s<k, линейно зависимы, т. е. á₁X₁ + … + á_sX_s = 0, где не все á_i равны нулю. Положив тогда á_s+1 = … = á_k = 0, получим нетривиальную линейную зависимость

á₁X₁ + … + á_sX_s + á_s+1X_s+1 + … + á_kX_k = 0.

Утверждение 2) непосредственно следует из 1) (рассуждение от противного).

3) Пусть, например, á_k ≠ 0. Тогда X_k = -á₁/á_k X₁ - … - á_k-1/á_k X_k-1.

4) Пусть, например, X_k = â₁X₁ + … + â_k-1X_k-1. Положив á₁ = â₁, … , á_k-1 = â_k-1, á_k = -1, придем к соотношению á₁X₁ + … + á_kX_k = 0 с коэффициентом á_k ≠ 0.

5) Нетривиальное соотношение â₁X₁ + … + â_kX_k + âX = 0 с â ≠ 0 дает в силу 3) то, что нужно. Если, однако, â = 0, то â₁ = … = â_k = 0, поскольку X_1, …,X_k по условию линейно независимы.

Утверждение 6) следует из 5).